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Droite des milieux

Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 18 · La droite qui passe par deux milieux · La droite qui passe par un milieu, parallèle à un côté · Pourquoi le théorème est vrai : une démonstration

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

La droite qui passe par deux milieux

touch_app Géométrie dynamique : découvre les propriétés

I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. Déplace les points A, B ou C : le triangle se déforme, I et J restent les milieux.

pan_tool_alt Figure dynamique : déplacez les points

Que remarques-tu sur la position de la droite (IJ) et de la droite (BC) ?
Compare les longueurs IJ et BC pour plusieurs triangles. Que remarques-tu ?

Théorème 1

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
D'après le théorème de la droite des milieux, la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) : (IJ) // (BC).

Théorème 2

Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC], avec BC = 7 cm.
D'après le théorème de la droite des milieux : $I J = \frac{B C}{2}$ , soit $I J = \frac{7}{2}$ , donc IJ = 3,5 cm.

Remarque : les deux théorèmes ont les mêmes hypothèses (deux milieux). Le premier conclut au parallélisme, le second donne une longueur :

I J = \frac{B C}{2}

, autrement dit BC = 2 × IJ.

La droite qui passe par un milieu, parallèle à un côté

Théorème 3

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB]. La droite (d) passe par I et elle est parallèle à (BC) ; elle coupe [AC] en J.
D'après le théorème de la droite des milieux, J est le milieu de [AC].

Attention : avec un seul milieu, il faut en plus le parallélisme. Une droite qui passe par le milieu d'un côté n'est pas toujours parallèle à un autre côté !

Pourquoi le théorème est vrai : une démonstration

Les figures ne suffisent pas pour être sûr que c'est vrai dans tous les triangles : on le démontre, avec les parallélogrammes vus en 5e. La démonstration animée est dans l'onglet Méthode (méthode 4).

On note K le symétrique de I par rapport à J : J est le milieu de [IK].

J est aussi le milieu de [AC] : les diagonales [IK] et [AC] du quadrilatère AICK ont le même milieu, donc AICK est un parallélogramme.

Donc (CK) // (AI), c'est-à-dire (CK) // (IB), et CK = AI = IB (car I est le milieu de [AB]).

Le quadrilatère IBCK a deux côtés opposés [IB] et [CK] parallèles et de même longueur : IBCK est un parallélogramme.

Donc (IK) // (BC), c'est-à-dire (IJ) // (BC), et IK = BC.

I J = \frac{I K}{2}

J est le milieu de [IK].

I J = \frac{B C}{2}

Car IK = BC.

En 3e, le théorème de Thalès généralisera ces résultats : au lieu de partager les côtés en deux, on les partagera dans le même rapport.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Pour choisir le bon théorème, regarde ce que tu sais et ce que tu cherches :

deux milieux, je cherche un parallélisme : théorème 1 ;
deux milieux, je cherche une longueur : théorème 2 ;
un milieu et une parallèle, je cherche un milieu : théorème 3.

Méthode 1 : démontrer que deux droites sont parallèles

Dans le triangle RST, M est le milieu de [RS] et N est le milieu de [RT].

On écrit les hypothèses : deux milieux de deux côtés d'un même triangle.

Méthode 2 : calculer une longueur

Dans le triangle EFG, K est le milieu de [EF] et L est le milieu de [EG], avec FG = 11 cm.

Les hypothèses : deux milieux et la longueur du troisième côté.

Méthode 3 : démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

Dans le triangle UVW, P est le milieu de [UV] et la droite (d) passe par P, parallèle à (VW). Elle coupe [UW] en Q.

Les hypothèses : un milieu, et un parallélisme.

Méthode 4 : la démonstration du théorème, pas à pas

I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC].

Ce qu'on sait. On veut démontrer que (IJ) // (BC) et que IJ est la moitié de BC.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Démontrer que deux droites sont parallèles »

ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC]. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].On écrit les hypothèses (avec le nom du triangle).

D'après le théorème de la droite des milieux,On cite le théorème utilisé.

(IJ) // (AC).On conclut : c'est ce que demande l'énoncé.

Exercices

Exercice 1

DEF est un triangle. G est le milieu de [DE] et H est le milieu de [DF]. Que peut-on dire des droites (GH) et (EF) ? Justifie.

Exercice 2

Avec les données de l'exercice 1, et EF = 9 cm, calcule la longueur GH.

Exercice 3

RST est un triangle. K est le milieu de [RS] et L est le milieu de [RT], avec KL = 3,7 cm. Calcule la longueur ST.

Exercice 4

EFG est un triangle. M est le milieu de [EF]. La parallèle à (FG) passant par M coupe [EG] en N. Démontre que N est le milieu de [EG].

Exercice 5

ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. I, J et K sont les milieux de [AB], [BC] et [AC]. Calcule le périmètre du triangle IJK.

Exercice 6

Vrai ou faux ? « Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle, alors elle est parallèle à un autre côté. » Justifie.

Exercice 7

Défi (le théorème de Varignon). ABCD est un quadrilatère. I, J, K et L sont les milieux de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Démontre que IJKL est un parallélogramme. (Aide : trace la diagonale [AC].)

Exercice 8

Une échelle double a deux montants [SA] et [SB] de même longueur. Une barre [MN] est fixée au milieu de chaque montant. Les pieds A et B sont à 1,30 m l'un de l'autre. Calcule la longueur de la barre, puis démontre qu'elle est parallèle au sol (AB).

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : les milieux, de l'Antiquité au 18e siècle

Vers 300 av. J.-C., le Grec Euclide rassemble dans ses Éléments la géométrie connue à son époque. Le livre VI s'ouvre sur une propriété générale : une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés « proportionnellement ». Le théorème de la droite des milieux en est le cas le plus simple, celui où l'on coupe en deux : c'est ce cas général que tu étudieras en 3e sous le nom de théorème de Thalès.

Près de 2 000 ans plus tard, le Français Pierre Varignon (1654-1722), ami des savants Newton et Leibniz, remarque une étonnante conséquence : si l'on joint, dans l'ordre, les milieux des quatre côtés de n'importe quel quadrilatère, on obtient toujours un parallélogramme ! Son résultat est publié en 1731, après sa mort, dans un manuel pour les élèves. Tu peux le démontrer avec les théorèmes de ce chapitre (exercice 7).

Le parallélogramme de Varignon (en orange), formé par les milieux des côtés du quadrilatère ABCD.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz