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Droites remarquables et cercles

Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 19 · Les droites remarquables d'un triangle · Triangle rectangle et cercle circonscrit · Reconnaître un parallélogramme particulier par ses diagonales

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Les droites remarquables d'un triangle

Tu as rencontré ces droites en 6e et en 5e. Dans chaque triangle, les trois droites d'une même famille sont concourantes : elles passent par un même point.

Les médiatrices

Les hauteurs

Les médianes

Les bissectrices

Droites	Définition	Point de concours	Ce qu'il faut savoir
Médiatrices	La médiatrice d'un côté est la perpendiculaire à ce côté en son milieu.	O, centre du cercle circonscrit	O est à la même distance des trois sommets : OA = OB = OC.
Hauteurs	La hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.	H, l'orthocentre	Il peut être en dehors du triangle (triangle qui a un angle obtus).
Médianes	La médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.	G, le centre de gravité	Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Bissectrices	La bissectrice d'un angle le partage en deux angles de même mesure.	I, centre du cercle inscrit	I est à la même distance des trois côtés.

Propriété (rappel)

Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement si il est à la même distance des deux extrémités de ce segment.

Démonstration : pourquoi les trois médiatrices sont-elles concourantes ?

Les médiatrices de [AB] et de [BC] se coupent en un point O.Elles ne sont pas parallèles, car (AB) et (BC) ne le sont pas.

O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB.

O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC.

Donc OA = OC : O est aussi sur la médiatrice de [AC].Les trois médiatrices passent par O.

Le cercle de centre O et de rayon OA passe par A, B et C : c'est le cercle circonscrit au triangle.

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Théorème 1

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.

Le triangle ABC est rectangle en A.
D'après le théorème, son cercle circonscrit a pour centre O, le milieu de l'hypoténuse [BC], et pour diamètre [BC].
Conséquence : OA = OB = OC, donc la médiane [AO] issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : $A O = \frac{B C}{2}$ .

Théorème 2 (réciproque)

Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé à ce diamètre.

Le point A est sur le cercle de diamètre [BC].
D'après le théorème, le triangle ABC est rectangle en A.
On dit aussi : un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.

Où que soit le point A sur le cercle (sauf en B et en C), l'angle

\hat{B A C}

est droit ! Un « équivalent » du théorème 2 : si, dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle.

Démonstration du théorème 1 :

ABC est rectangle en A ; O est le milieu de [BC]. On note D le symétrique de A par rapport à O.

Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont le même milieu O : ABDC est un parallélogramme.

Ce parallélogramme a un angle droit en A : c'est un rectangle.

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : AD = BC. Donc OA = OB = OC.O est le centre du cercle circonscrit à ABC.

Reconnaître un parallélogramme particulier par ses diagonales

Propriétés

Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré.

Rappel : un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Par exemple, un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu et la même longueur est un rectangle.

Construire un rectangle sans équerre

On trace un cercle de centre O, puis deux diamètres [AC] et [BD].
Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu O : c'est un parallélogramme.
Elles ont la même longueur (deux diamètres d'un même cercle) : ABCD est un rectangle. Aucun angle droit n'a été tracé à l'équerre !

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : démontrer qu'un triangle est rectangle avec un cercle

Le point E est sur le cercle de diamètre [FG].

On écrit l'hypothèse : un sommet du triangle sur un cercle dont un autre côté est un diamètre.

Méthode 2 : calculer la longueur de la médiane issue de l'angle droit

Le triangle RST est rectangle en R et RS = 6 cm, RT = 8 cm, ST = 10 cm. M est le milieu de [ST]. Calculer RM.

On cherche la longueur de la médiane issue de l'angle droit.

Méthode 3 : reconnaître un parallélogramme particulier par ses diagonales

ABCD est un parallélogramme de centre O, avec OA = 3 cm et OB = 3 cm.

On veut savoir si c'est un parallélogramme particulier.

Méthode 4 : construire un rectangle sans équerre

Je trace un cercle de centre O.

Le rayon donnera la moitié des diagonales.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Démontrer qu'un triangle est rectangle avec un cercle »

[KL] est un diamètre d'un cercle (C), et M est un point de ce cercle, distinct de K et de L. Démontrer que le triangle KLM est rectangle.

Le point M est sur le cercle (C) de diamètre [KL].On écrit l'hypothèse.

Le triangle KLM est donc inscrit dans le cercle de diamètre [KL].On reconnaît la configuration.

D'après le théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle, KLM est rectangle en M.On cite le théorème et on précise le sommet de l'angle droit.

Exercices

Exercice 1

Complète : les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle … ; les trois hauteurs se coupent en un point appelé … ; les trois médianes se coupent au … ; les trois bissectrices se coupent au centre du cercle ….

Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 13 cm. Où se trouve le centre de son cercle circonscrit ? Quel est le rayon de ce cercle ?

Exercice 3

[EF] est un diamètre d'un cercle de centre O, et G est un point du cercle (distinct de E et de F). Démontre que le triangle EFG est rectangle.

Exercice 4

DEF est un triangle rectangle en D, avec EF = 9 cm. I est le milieu de [EF]. Calcule la longueur DI.

Exercice 5

RST est un triangle et M est le milieu de [ST], avec ST = 7 cm et RM = 3,5 cm. Le triangle RST est-il rectangle ? Justifie.

Exercice 6

ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales mesurent AC = 8 cm et BD = 8 cm, et elles sont perpendiculaires. Quelle est la nature de ABCD ?

Exercice 7

Explique comment construire un rectangle sans équerre, avec seulement un compas et une règle, puis justifie que la figure obtenue est bien un rectangle.

Exercice 8

Vrai ou faux ? « L'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet de l'angle droit. » Justifie.

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : de Thalès à Euler

Thalès de Milet (vers 625-547 av. J.-C.) passe pour le premier mathématicien grec. Selon l'historien Diogène Laërce, qui écrit environ huit siècles plus tard, Thalès aurait été le premier à inscrire un triangle rectangle dans un demi-cercle, et il aurait sacrifié un bœuf pour fêter cette découverte ! C'est pourquoi, en Allemagne ou en Angleterre, le théorème 2 de ce chapitre s'appelle… le « théorème de Thalès » (en France, ce nom désigne un autre théorème, que tu verras en 3e).

Vers 300 av. J.-C., Euclide démontre dans ses Éléments que les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit (livre IV), et que l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit (livre III). Le concours des hauteurs, lui, n'est pas dans les Éléments : il apparaît dans des textes plus tardifs, et le mot « orthocentre » ne date que du 19e siècle.

En 1765, le Suisse Leonhard Euler, l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, découvre une surprise : dans tout triangle, le centre du cercle circonscrit O, le centre de gravité G et l'orthocentre H sont alignés, et G est toujours deux fois plus près de O que de H. Cette droite s'appelle la droite d'Euler.

La droite d'Euler (en rouge) passe par O, G et H.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz