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Symétrie axiale

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 10 · Figures symétriques · Symétrie d'un point · Propriétés de la symétrie axiale · Axe de symétrie d'un segment · Axe de symétrie d'un angle

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Figures symétriques

Définition

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite, appelée l'axe de symétrie.

Exemple :

Les deux figures se superposent par pliage le long de la droite (d) : elles sont donc symétriques par rapport à (d).

Deux points sont symétriques par rapport à une droite s'ils se superposent par pliage le long de cette droite.

Symétrie d'un point

Définition

Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM'] (c'est-à-dire tel que (d) soit perpendiculaire au segment [MM'] en son milieu).

Exemple : construis M', symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Axe horizontal ou vertical :

Déplace le point M (le point bleu).

M et M' sont situés à la même distance de (d), de part et d'autre, sur une perpendiculaire à (d). On compte le nombre de carreaux de M jusqu'à (d), et on reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté de (d).

Axe en diagonale : on rejoint (d) à l'horizontale en comptant les carreaux, puis on redescend à la verticale en comptant le même nombre de carreaux.

Déplace le point M (le point bleu).

De M, on avance à l'horizontale jusqu'à (d) en comptant les carreaux. À partir de ce point de (d), on redescend à la verticale en comptant le même nombre de carreaux : on trouve M'.

Si un point appartient à l'axe de symétrie, alors son symétrique est le point lui-même.

Propriétés de la symétrie axiale

Propriété 1

Symétrique d'une droite

Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l'alignement.

Propriété 2

Symétrique d'un segment

Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs.

Remarque : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.

Propriété 3

Symétrique d'un cercle

Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon. Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport à cet axe.

Propriété 4

Symétrique d'un angle

Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure. La symétrie axiale conserve les mesures des angles.

Remarque : pour construire le symétrique d'une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune d'elles.

Exemples :

Symétrique d'une droite

Déplace les 2 points bleus.

Symétrique d'un segment

Déplace les 2 points bleus.

Symétrique d'un cercle

Déplace le centre bleu.

Axe de symétrie d'un segment

Propriété 1

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Propriétés 2

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Remarque : si un point n'est pas sur la médiatrice d'un segment, alors il est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.

Propriété 3

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Exemple :

P est sur la médiatrice : PA = PB.

Déplace le point P (le point bleu), sur la médiatrice ou en dehors.

(d) est la médiatrice de [AB]. Tant que P reste sur (d), il est équidistant de A et de B : PA = PB.

Axe de symétrie d'un angle

Propriété

La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.

Exemple :

Déplace les points A et B (les points bleus).

La demi-droite (en pointillés), bissectrice de l'angle $\hat{A O B}$ , le partage en deux angles de même mesure.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Bissectrice d'un angle au compas

La construction à l'équerre et au rapporteur a déjà été vue dans le chapitre sur les angles. Voici la construction au compas.

Prendre un écartement au compas quelconque.

Piquer au sommet de l'angle et intercepter les deux côtés (deux petits arcs, sans les joindre).

Piquer sur chaque point d'intersection : construire deux arcs de cercle de même écartement, qui se coupent.

Finir à la règle et au crayon : tracer la demi-droite depuis le sommet, en passant par ce point.

Coder les deux angles obtenus : ils sont égaux.

Médiatrice d'un segment au compas

Une seconde méthode, avec le compas plutôt qu'à la règle et à l'équerre.

Piquer en A avec un écartement supérieur à la moitié de [AB] : tracer un arc de chaque côté de [AB].

Piquer en B avec le même écartement : tracer deux arcs qui recoupent les précédents.

Tracer, à la règle, la droite passant par les deux points d'intersection : c'est la médiatrice.

Coder le milieu de [AB] et l'angle droit.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier que deux points sont symétriques »

(d) est la médiatrice du segment [MM'].
Donc M' est le symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Rédaction type : « Justifier qu'un point appartient à la médiatrice »

PA = PB.
Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Donc P appartient à la médiatrice de [AB].

Rédaction type : « Justifier qu'une demi-droite est une bissectrice »

La demi-droite [Oz) partage l'angle

\hat{x O y}

en deux angles de même mesure :

\hat{x O z} = \hat{z O y}

.
Donc [Oz) est la bissectrice de l'angle

\hat{x O y}

Exercices

Exercice 1

Trace une droite (d) et un point M n'appartenant pas à (d). Construis le symétrique M' de M par rapport à (d), à la règle et à l'équerre, en laissant apparents les traits de construction.

Exercice 2

Trace un segment [AB] de 6 cm. Construis sa médiatrice au compas, en laissant apparents les deux couples d'arcs de cercle. Code le milieu et l'angle droit obtenus.

Exercice 3

Trace un angle

\hat{x O y}

de 70°. Construis sa bissectrice au compas, en laissant apparents les traits de construction. Code les deux angles obtenus.

Exercice 4

ABC est un triangle isocèle en A. La droite (d) est la médiatrice de [BC] et passe par A. Explique pourquoi B et C sont symétriques par rapport à (d).

Exercice 5

P est un point tel que PA = 5 cm et PB = 5 cm, où A et B sont les extrémités d'un segment. Explique pourquoi P appartient à la médiatrice de [AB].

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise dans la nature. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et nature

Fabrique un flocon

Dessine avec la souris (ou le doigt) n'importe où : ton tracé est recopié aussitôt.

Ton tracé est recopié par symétrie par rapport à chacun des 6 axes (en pointillés), puis les copies sont recopiées à leur tour : un flocon de neige a 6 axes de symétrie.

eco Maths et nature : les formes du vivant

Les lapins de Fibonacci et les spirales des fleurs

En 1202, l'Italien Fibonacci pose un petit problème : un couple de lapins donne naissance chaque mois à un nouveau couple, qui se reproduit à son tour dès son deuxième mois. Combien de couples au bout d'un an ? Les nombres de couples forment la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… : chaque nombre est la somme des deux précédents. Surprise : on retrouve ces nombres partout dans les plantes. Sur une pomme de pin, on compte souvent 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre ; sur un tournesol, 34 et 55. C'est la conséquence de l'angle d'or (environ 137,5°) entre deux graines successives.

Kepler et le flocon à six branches (1611)

Pour le Nouvel An 1611, l'astronome Johannes Kepler offre à un ami un petit livre : L'étrenne, ou la neige à six angles. Il s'y demande pourquoi tous les flocons de neige ont six branches. Il faudra attendre le 20e siècle et l'étude des cristaux pour le comprendre : les molécules d'eau de la glace s'assemblent en hexagones. Chaque flocon a ainsi 6 axes de symétrie… et pourtant, comme l'a montré l'Américain Wilson Bentley, qui en a photographié plus de 5 000 à partir de 1885, deux flocons ne sont jamais tout à fait identiques.

Les abeilles, championnes de géométrie

Pourquoi les alvéoles des ruches sont-elles des hexagones ? Le savant grec Pappus d'Alexandrie, au 4e siècle, parlait déjà de la « sagacité des abeilles » : avec des hexagones, on pave tout le plan sans laisser de trou, en utilisant le moins de cire possible pour une même surface. Ce n'est qu'en 1999 que le mathématicien américain Thomas Hales a démontré que l'hexagone est vraiment la meilleure solution.

Compter les poissons sans les pêcher tous

Vers 1890, le biologiste danois Carl Petersen marque des poissons (des plies) pour étudier leurs déplacements, et comprend qu'il peut aussi estimer leur nombre par proportionnalité : c'est la méthode de capture-recapture. Un siècle plus tôt, Laplace avait déjà utilisé une idée semblable pour estimer la population de la France à partir des naissances. Aujourd'hui, on compte ainsi les oiseaux, les papillons, les loups… ou les ours, grâce à des poils laissés sur des barbelés.

Les fractales : le chou romanesco et la fougère

Regarde un chou romanesco : chaque petite pointe est une copie réduite du chou entier, elle-même faite de pointes encore plus petites. Une feuille de fougère aussi est faite de petites feuilles qui lui ressemblent. En 1975, le mathématicien Benoît Mandelbrot appelle ces formes des fractales. Il pose une question étonnante : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? Plus on la mesure finement, en suivant chaque rocher, plus elle est longue !

science À toi ! Ramasse une pomme de pin (ou regarde le cœur d'un tournesol, d'une marguerite, d'un ananas). Avec un feutre, suis une spirale de la base jusqu'au sommet, puis compte combien il y en a qui tournent dans ce sens. Compte ensuite celles qui tournent dans l'autre sens. Trouves-tu deux nombres de Fibonacci, comme 8 et 13 ?

history_edu Un peu d'histoire

La symétrie axiale est sans doute la plus ancienne notion de géométrie observée par l'être humain : on la retrouve dans la nature (le corps humain, les ailes d'un papillon, les feuilles de nombreuses plantes) bien avant toute étude mathématique. Les architectes de l'Antiquité l'utilisent systématiquement pour donner un sentiment d'équilibre à leurs monuments : les temples grecs, comme le Parthénon, sont conçus autour d'un axe de symétrie central, tout comme de nombreuses façades de cathédrales gothiques bien plus tard. Le mot « symétrie » vient d'ailleurs du grec sun (avec) et metron (mesure) : une figure symétrique est littéralement une figure de « même mesure » de part et d'autre de son axe. Euclide, dans ses Éléments (IIIe siècle avant J.-C.), utilise déjà des constructions à la règle et au compas qui reposent sur ces idées, sans disposer du vocabulaire moderne. Il faut attendre le XIXe siècle et le développement de la théorie des groupes, notamment les travaux du mathématicien allemand Felix Klein, pour que la symétrie soit formalisée comme une transformation géométrique à part entière, ouvrant la voie à son usage en cristallographie et en physique moderne.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz