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Fractions : comparaison et addition

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 11 · Comparaison de deux fractions · Addition et soustraction de fractions

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Comparaison de deux fractions

Fractions de même dénominateur

Règle

Deux fractions de même dénominateur sont rangées dans le même ordre que leur numérateur.

Exemple :

Ordonne les fractions suivantes : $\frac{5}{7}$ , $\frac{9}{7}$ , $\frac{8}{7}$ , $\frac{4}{7}$ dans l'ordre croissant.

Ces fractions ont toutes pour dénominateur 7, elles sont donc rangées dans l'ordre croissant de leur numérateur.
Comme $4 < 5 < 8 < 9$ , on en déduit $\frac{4}{7} < \frac{5}{7} < \frac{8}{7} < \frac{9}{7}$ .

Fractions de dénominateurs différents

Règle

Pour comparer deux fractions de dénominateurs multiples l'un de l'autre, on les réduit au même dénominateur (le plus grand des 2) puis on applique la règle du paragraphe précédent.

Exemple 1 :

Compare les fractions $\frac{7}{4}$ et $\frac{31}{20}$ .

On réduit les deux fractions au même dénominateur. Comme 20 est un multiple de 4, le plus petit dénominateur commun est 20.
$\frac{7}{4} = \frac{7 \times 5}{4 \times 5} = \frac{35}{20}$ et $\frac{31}{20}$ .
Or, $35 > 31$ donc $\frac{35}{20} > \frac{31}{20}$ donc $\frac{7}{4} > \frac{31}{20}$ .

Règle

Pour comparer deux fractions de dénominateurs quelconques, on les réduit au même dénominateur puis on applique la règle du paragraphe précédent.

Exemple 2 :

Compare les fractions $\frac{1}{3}$ et $\frac{4}{7}$ .

On réduit les deux fractions au même dénominateur. Comme 3 et 7 n'ont pas de diviseur commun, le plus petit dénominateur commun est $3 \times 7 = 21$ .
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{7}{21}$ et $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{12}{21}$ .
Or, $7 < 12$ donc $\frac{7}{21} < \frac{12}{21}$ donc $\frac{1}{3} < \frac{4}{7}$ .

Exemple 3 :

Compare les fractions $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{9}$ .

On réduit les deux fractions au même dénominateur. Comme 6 et 9 ont un diviseur commun (3), on écrit leurs multiples :
- pour 6 : 6 - 12 - 18 - 24 - …
- pour 9 : 9 - 18 - 27 - 36 - …
Le plus petit commun multiple de 6 et 9 est 18 : $18 = 6 \times 3$ et $18 = 9 \times 2$ .
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$ et $\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$ .
Or, $15 > 14$ donc $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$ .

Addition et soustraction de fractions

Fractions de même dénominateur

Règle

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, il suffit d'additionner (ou de soustraire) les numérateurs, et de garder le dénominateur commun.

Pour tous nombres $a$ , $b$ et $c$ où $c$ est non nul : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ et $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ .

Exemples :

$A = \frac{7}{5} + \frac{6}{5} = \frac{7 + 6}{5} = \frac{13}{5}$
$B = \frac{19}{8} - \frac{5}{8} = \frac{19 - 5}{8} = \frac{14}{8}$

Fractions de dénominateurs différents

Règle

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs multiples l'un de l'autre, on commence par les réduire au même dénominateur (le plus grand des 2) puis on applique la règle du paragraphe précédent.

Exemples 1 :

$C = \frac{7}{3} + \frac{6}{12} = \frac{7 \times 4}{3 \times 4} + \frac{6}{12} = \frac{28}{12} + \frac{6}{12} = \frac{34}{12}$
$D = \frac{7}{3} - \frac{6}{12} = \frac{7 \times 4}{3 \times 4} - \frac{6}{12} = \frac{28}{12} - \frac{6}{12} = \frac{22}{12}$

Règle

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs quelconques, on les réduit au même dénominateur puis on applique la règle du paragraphe précédent.

Exemples 2 :

$E = \frac{2}{3} + \frac{8}{7} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} + \frac{8 \times 3}{7 \times 3} = \frac{14}{21} + \frac{24}{21} = \frac{38}{21}$
Le plus petit dénominateur commun de 3 et 7 est $3 \times 7 = 21$ .
$F = \frac{10}{9} - \frac{5}{6} = \frac{10 \times 2}{9 \times 2} - \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{20}{18} - \frac{15}{18} = \frac{5}{18}$
Le plus petit dénominateur commun de 9 et 6 est 18.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode : comparer deux fractions de dénominateurs différents

\frac{5}{6}

\frac{3}{4}

On souhaite comparer ces deux fractions de dénominateurs différents (6 et 4).

Méthode : additionner deux fractions de dénominateurs différents

B = \frac{7}{6} + \frac{5}{8}

On souhaite additionner ces deux fractions de dénominateurs différents (6 et 8).

Méthode : soustraire deux fractions de dénominateurs différents

A = \frac{9}{4} - \frac{7}{10}

On souhaite soustraire ces deux fractions de dénominateurs différents (4 et 10).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Compare deux fractions de dénominateurs différents »

Compare les fractions $\frac{5}{6}$ et $\frac{3}{4}$ .

\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}

\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}

.On réduit au même dénominateur.

Or, 10 > 9.On compare les numérateurs.

Donc

\frac{10}{12} > \frac{9}{12}

, donc

\frac{5}{6} > \frac{3}{4}

.Conclusion.

Rédaction type : « Additionne (ou soustrais) deux fractions de dénominateurs différents »

Calcule $\frac{7}{6} + \frac{5}{8}$ .

\frac{7}{6} = \frac{7 \times 4}{6 \times 4} = \frac{28}{24}

\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}

.On réduit au même dénominateur.

\frac{7}{6} + \frac{5}{8} = \frac{28}{24} + \frac{15}{24} = \frac{43}{24}

On additionne les numérateurs, en gardant le dénominateur commun.

Exercices

Exercice 1

Ordonne dans l'ordre croissant les fractions

\frac{11}{9}

\frac{4}{9}

\frac{7}{9}

\frac{2}{9}

Exercice 2

Compare les fractions

\frac{5}{3}

\frac{13}{9}

. Rédige ta réponse.

Exercice 3

Compare les fractions

\frac{2}{5}

\frac{5}{8}

. Rédige ta réponse.

Exercice 4

Calcule

G = \frac{5}{4} + \frac{3}{8}

H = \frac{11}{6} - \frac{2}{3}

Exercice 5

Calcule

K = \frac{3}{4} + \frac{2}{5}

L = \frac{7}{6} - \frac{3}{10}

. Rédige tes réponses.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en musique. Des activités à manipuler (monte le son !) et un peu d'histoire.

Maths et musique

Remplis la mesure

Une mesure à 4 temps dure une ronde : elle doit faire exactement 1. Clique sur les notes pour remplir les mesures, puis écoute ta composition. Clique sur une note posée pour l'enlever.

Mesure 1

mesure vide

Mesure 2

mesure vide

Le calcul de la mesure s'écrit ici.

music_note Maths et musique : une très longue histoire

Pythagore et la corde qui chante (6e siècle av. J.-C.)

Selon la légende, Pythagore passe devant une forge et remarque que certains marteaux sonnent bien ensemble. Il étudie alors une corde tendue sur une caisse, le monocorde. S'il ne fait vibrer que la moitié de la corde ( $\frac{1}{2}$ ), il entend la même note, en plus aigu : c'est l'octave. Avec les $\frac{2}{3}$ de la corde, il obtient la quinte ; avec les $\frac{3}{4}$ , la quarte. Les sons qui « vont bien ensemble » correspondent à des fractions simples ! Pour les pythagoriciens, « tout est nombre », même la musique.

Au Moyen Âge, la musique est… une matière de maths

Dans les universités du Moyen Âge, on apprend quatre sciences des nombres, le quadrivium : l'arithmétique (les nombres), la géométrie (les figures), l'astronomie (les nombres dans le ciel)… et la musique (les nombres dans les sons). Un étudiant en musique calculait des rapports de longueurs de cordes bien plus qu'il ne chantait.

Écrire le rythme avec des fractions

Au 13e siècle, les musiciens inventent une façon d'écrire la durée des notes. Notre système vient de là : une ronde vaut deux blanches, une blanche deux noires, une noire deux croches… Chaque note dure la moitié de la précédente. En haut d'une partition, le chiffrage de la mesure s'écrit d'ailleurs comme une fraction : $\frac{4}{4}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{6}{8}$ … Remplir une mesure, c'est faire une somme de fractions égale au chiffrage, comme dans la méthode « Remplis la mesure ».

Bach, Mozart et les mélodies en miroir

Jean-Sébastien Bach (1685-1750) adorait les jeux mathématiques. Dans son Offrande musicale (1747), un canon à l'écrevisse fait entendre la même mélodie jouée en même temps à l'endroit et à l'envers : c'est une symétrie d'axe vertical. Dans L'Art de la fugue, des fugues « en miroir » se jouent aussi renversées, quand la mélodie monte, son image descend : une symétrie d'axe horizontal. On attribue même à Mozart un duo « de table » : les deux musiciens, assis face à face, lisent la même feuille, l'un à l'endroit, l'autre à l'envers, tournée d'un demi-tour ! Et quand une mélodie revient, identique ou plus aiguë, le même motif a simplement glissé.

Mersenne mesure les sons (1636)

Le moine français Marin Mersenne, ami de Descartes, compte les vibrations d'une corde : plus une corde est courte, plus elle vibre vite et plus le son est aigu. Le nombre de vibrations par seconde s'appelle aujourd'hui la fréquence. Le la des musiciens vibre 440 fois par seconde (440 Hz) ; le la de l'octave au-dessus, 880 fois : deux fois plus. On retrouve la moitié de Pythagore : corde deux fois plus courte, fréquence deux fois plus grande.

Fourier et le son numérique

En 1822, Joseph Fourier montre que tout son, même celui d'un violon ou d'une voix, est une somme de sons purs. Aujourd'hui, un ordinateur fabrique de la musique avec des nombres : un CD enregistre 44 100 nombres par seconde. Les sons des méthodes animées de ce chapitre sont, eux aussi, calculés par l'ordinateur à partir des fréquences des notes.

science À toi ! Pose une règle sur le bord d'une table et fais-la dépasser. Tiens-la fermement sur la table et fais vibrer le bout qui dépasse. Recommence en la faisant dépasser deux fois moins : le son est plus aigu. Tu peux aussi tendre un élastique sur une boîte, le pincer, puis le pincer en bloquant son milieu : tu entends l'octave de Pythagore.

history_edu Un peu d'histoire

Réduire deux fractions au même dénominateur pour les comparer ou les additionner n'a rien d'évident : c'est en Chine, dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (un ouvrage compilé autour du I^er siècle), qu'on trouve la première méthode connue, écrite noir sur blanc, pour réduire deux fractions au même dénominateur avant de les additionner ou de les comparer. Les mathématiciens chinois avaient déjà compris qu'il suffisait de multiplier chaque fraction par le dénominateur de l'autre, exactement la méthode utilisée dans ce chapitre pour des dénominateurs quelconques. Les Babyloniens, environ mille ans plus tôt, utilisaient de leur côté un système de calcul en base 60 (et non en base 10), particulièrement pratique pour les fractions puisque 60 possède énormément de diviseurs : on en garde aujourd'hui la trace dans le découpage de l'heure en 60 minutes. Quant à la barre de fraction telle qu'on l'écrit aujourd'hui, séparant nettement numérateur et dénominateur, elle est attribuée au mathématicien arabe Al-Hassar au XIIe siècle ; c'est le mathématicien italien Fibonacci qui la fait connaître en Europe au siècle suivant, dans son Liber Abaci.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz