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Symétrie centrale

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 2 · Définition de la symétrie centrale · Propriétés de la symétrie centrale · Centre de symétrie

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Définition de la symétrie centrale

Symétrie centrale et demi-tour

Définition

On dit que deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsque l'une vient se superposer exactement à l'autre après un demi-tour effectué autour de O. Cette transformation s'appelle la symétrie centrale de centre O.

Exemple : un demi-tour autour de O

Symétrique d'un point

Définition

Un point A' est le symétrique d'un point A par rapport à un point O lorsque O est le milieu du segment [AA'].

Exemple : le symétrique d'un point

Les petits traits sur [OA] et [OA'] indiquent qu'ils sont codés de même longueur : c'est ce qui prouve que O est le milieu de [AA'].

Remarque : le symétrique de O par rapport à lui-même est O, c'est le seul point que la symétrie centrale laisse à sa place (on dit qu'il est invariant).

Propriétés de la symétrie centrale

Symétrique d'une droite

Propriété

Le symétrique d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle à la droite de départ. La symétrie centrale conserve l'alignement des points.

Exemple

Symétrique d'un segment

Propriété

Le symétrique d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur. La symétrie centrale conserve les longueurs.

Exemple

Symétrique d'un polygone

Propriété

Le symétrique d'un polygone par une symétrie centrale est un polygone superposable au premier : mêmes longueurs de côtés, mêmes mesures d'angles, même périmètre et même aire.

Exemple

Symétrique d'un cercle

Propriété

Le symétrique d'un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre de départ.

Exemple

Remarque : pour construire le symétrique d'un arc de cercle, on construit les symétriques de son centre et de ses deux extrémités, puis on trace l'arc qui les relie.

Centre de symétrie

Définition

On dit qu'un point O est le centre de symétrie d'une figure lorsque cette figure est sa propre image par la symétrie centrale de centre O (autrement dit, elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O).

Exemple 1

Lancez le demi-tour : l'hexagone tourne de 180° autour de O et vient se superposer exactement à sa position de départ.

Dans l'hexagone GHIJKL : G a pour symétrique J, H a pour symétrique K, et I a pour symétrique L par rapport à O. Ce polygone admet donc O comme centre de symétrie.

Autres exemples :

Un parallélogramme WXYZ a pour centre de symétrie le point d'intersection O de ses diagonales [WY] et [XZ].
Un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie. Un triangle équilatéral, lui, possède trois axes de symétrie, mais toujours aucun centre de symétrie.

warning Piège classique : ne pas confondre la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point, la figure « tourne ») avec la symétrie axiale (retournement autour d'une droite, la figure est « retournée comme dans un miroir »). Un bon réflexe : si l'énoncé donne un point, c'est une symétrie centrale ; s'il donne une droite, c'est une symétrie axiale.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Construire le symétrique d'un point A, au compas et à la règle

Je trace la demi-droite [AO) à la règle, en la prolongeant largement au-delà de O.

Je pique le compas en A, j'ouvre jusqu'à O, puis je reporte cette longueur OA de l'autre côté de O sur la demi-droite (arc de cercle).

Le point où l'arc coupe la droite est A', le symétrique de A : on a bien OA' = OA, avec O entre A et A'.

Construire le symétrique d'un point dans un quadrillage

Pour aller de A à O, je compte les carreaux : 4 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le bas.

En partant de O, je refais exactement le même déplacement : 4 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le bas.

J'arrive sur A', le symétrique de A par rapport à O : O est le milieu de [AA'].

Construire le symétrique d'un segment dans un quadrillage

Symétrique de A : de A à O, 4 carreaux vers la droite puis 2 carreaux vers le bas ; depuis O, je refais le même déplacement et j'obtiens A'.

Symétrique de B : de B à O, 2 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le haut ; depuis O, je refais le même déplacement et j'obtiens B'.

Je relie A' et B' : le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B']. Il a la même longueur que [AB] et lui est parallèle.

Construire le symétrique d'une droite dans un quadrillage

Je choisis deux points de la droite (d) placés sur des nœuds du quadrillage (croisements des lignes) : A et B.

Symétrique de A : de A à O, 5 carreaux vers la droite puis 1 carreau vers le haut ; depuis O, le même déplacement donne A'.

Symétrique de B : de B à O, 2 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le haut ; depuis O, le même déplacement donne B'.

Je trace la droite (A'B') : c'est (d'), la symétrique de (d) par rapport à O. Elle est parallèle à (d) (si O était sur (d), (d') serait (d) elle-même).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Construire le symétrique d'un point »

O est le milieu du segment [AA'].
Donc A' est le symétrique du point A par rapport au point O.

Exercices

Exercice 1

Place un point O et un point M à 4 cm de O. Construis le symétrique M' de M par rapport à O, en laissant apparents les traits de construction.

Exercice 2

ABCD est un parallélogramme de centre O. Explique pourquoi C est le symétrique de A par rapport à O.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en musique. Des activités à manipuler (monte le son !) et un peu d'histoire.

Maths et musique

Le canon miroir

Chaque case est une note : le temps est en abscisse (on lit de gauche à droite), la hauteur en ordonnée (plus haut = plus aigu). La mélodie bleue est le modèle ; clique dans la partie gauche pour la changer.

Symétrie par rapport à l'axe vertical rouge : la première note devient la dernière, la deuxième l'avant-dernière… La mélodie est jouée à l'envers (en musique : le rétrograde).

music_note Maths et musique : une très longue histoire

Pythagore et la corde qui chante (6e siècle av. J.-C.)

Selon la légende, Pythagore passe devant une forge et remarque que certains marteaux sonnent bien ensemble. Il étudie alors une corde tendue sur une caisse, le monocorde. S'il ne fait vibrer que la moitié de la corde ( $\frac{1}{2}$ ), il entend la même note, en plus aigu : c'est l'octave. Avec les $\frac{2}{3}$ de la corde, il obtient la quinte ; avec les $\frac{3}{4}$ , la quarte. Les sons qui « vont bien ensemble » correspondent à des fractions simples ! Pour les pythagoriciens, « tout est nombre », même la musique.

Au Moyen Âge, la musique est… une matière de maths

Dans les universités du Moyen Âge, on apprend quatre sciences des nombres, le quadrivium : l'arithmétique (les nombres), la géométrie (les figures), l'astronomie (les nombres dans le ciel)… et la musique (les nombres dans les sons). Un étudiant en musique calculait des rapports de longueurs de cordes bien plus qu'il ne chantait.

Écrire le rythme avec des fractions

Au 13e siècle, les musiciens inventent une façon d'écrire la durée des notes. Notre système vient de là : une ronde vaut deux blanches, une blanche deux noires, une noire deux croches… Chaque note dure la moitié de la précédente. En haut d'une partition, le chiffrage de la mesure s'écrit d'ailleurs comme une fraction : $\frac{4}{4}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{6}{8}$ … Remplir une mesure, c'est faire une somme de fractions égale au chiffrage.

Bach, Mozart et les mélodies en miroir

Jean-Sébastien Bach (1685-1750) adorait les jeux mathématiques. Dans son Offrande musicale (1747), un canon à l'écrevisse fait entendre la même mélodie jouée en même temps à l'endroit et à l'envers : c'est une symétrie d'axe vertical. Dans L'Art de la fugue, des fugues « en miroir » se jouent aussi renversées, quand la mélodie monte, son image descend : une symétrie d'axe horizontal. On attribue même à Mozart un duo « de table » : les deux musiciens, assis face à face, lisent la même feuille, l'un à l'endroit, l'autre à l'envers, tournée d'un demi-tour : une symétrie centrale ! Et quand une mélodie revient, identique ou plus aiguë, le même motif a simplement glissé.

Mersenne mesure les sons (1636)

Le moine français Marin Mersenne, ami de Descartes, compte les vibrations d'une corde : plus une corde est courte, plus elle vibre vite et plus le son est aigu. Le nombre de vibrations par seconde s'appelle aujourd'hui la fréquence. Le la des musiciens vibre 440 fois par seconde (440 Hz) ; le la de l'octave au-dessus, 880 fois : deux fois plus. On retrouve la moitié de Pythagore : corde deux fois plus courte, fréquence deux fois plus grande.

Fourier et le son numérique

En 1822, Joseph Fourier montre que tout son, même celui d'un violon ou d'une voix, est une somme de sons purs. Aujourd'hui, un ordinateur fabrique de la musique avec des nombres : un CD enregistre 44 100 nombres par seconde. Les sons des méthodes animées de ce chapitre sont, eux aussi, calculés par l'ordinateur à partir des fréquences des notes.

science À toi ! Pose une règle sur le bord d'une table et fais-la dépasser. Tiens-la fermement sur la table et fais vibrer le bout qui dépasse. Recommence en la faisant dépasser deux fois moins : le son est plus aigu. Tu peux aussi tendre un élastique sur une boîte, le pincer, puis le pincer en bloquant son milieu : tu entends l'octave de Pythagore.

history_edu Un peu d'histoire

Contrairement à beaucoup d'autres notions de ce cours, la symétrie n'a pas vraiment d'inventeur : elle est utilisée depuis la Préhistoire, bien avant d'être étudiée mathématiquement. On retrouve des motifs symétriques (par rotation, comme la symétrie centrale, ou par réflexion) dans des ornements vieux de plusieurs dizaines de milliers d'années, sur toutes les civilisations. Ce sont les mathématiciens grecs, notamment autour d'Euclide, qui commencent à étudier ces transformations de façon rigoureuse, en s'intéressant en particulier aux propriétés des figures régulières.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz