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Divisibilité

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 3 · Multiples et diviseurs · Critères de divisibilité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Multiples et diviseurs

Définitions

Soient a et b deux nombres entiers naturels. Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors :

a est divisible par b ;
b est un diviseur de a ;
a est un multiple de b.

Remarque : le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.

Exemple 1 : considérons l'égalité 2 016 = 42 × 48.

2 016 est divisible par 48 ; 48 est un diviseur de 2 016 ; 2 016 est un multiple de 48.
Mais on a également : 2 016 est divisible par 42 ; 42 est un diviseur de 2 016 ; 2 016 est un multiple de 42.

Exemple 2 :

Les multiples de 6 sont : 0 – 6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36... Il en existe une infinité.
Les diviseurs de 36 sont : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 – 36. Il en existe 9.

Critères de divisibilité

Règles

Un nombre entier est divisible par 2 (pair) si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : on considère le nombre 41 730. Est-il divisible par 2, 5, 10, 3 et 9 ?

Son chiffre des unités est 0, donc 41 730 est divisible par 2, par 5 et par 10.
La somme de ses chiffres : 4 + 1 + 7 + 3 + 0, soit 15, est un multiple de 3, donc 41 730 est divisible par 3.
15 n'est pas un multiple de 9, donc 41 730 n'est pas divisible par 9.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Trouver tous les diviseurs d'un nombre : 60

Diviseurs de 60 ?

On teste chaque nombre entier à partir de 1, dans l'ordre.

Les tables de multiplication sur le cercle

Survole ou touche un point du cercle pour lire son calcul.

i → reste de 2 × i par 10

Couleurs

Figures célèbres

Table de 2 : une cardioïde (en forme de cœur) ; table de 3 : une néphroïde (en forme de rein) ; table de k : une courbe à k − 1 « pétales ».

i → reste de k × i par n

0 → 01 → 22 → 43 → 64 → 85 → 06 → 27 → 48 → 69 → 8

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un nombre est un multiple d'un autre »

On considère 84 et 7.
Le reste de la division euclidienne de 84 par 7 est nul (84 = 7 × 12).
Donc 84 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 84.

Exercices

Exercice 1

En utilisant les critères de divisibilité, dis si 52 470 est divisible par 2, par 5, par 10, par 3 et par 9.

Exercice 2

Trouve tous les diviseurs de 48.

history_edu Un peu d'histoire

Vers 240 av. J.-C., le savant grec Ératosthène, alors bibliothécaire en chef de la grande bibliothèque d'Alexandrie, invente une méthode simple pour trouver tous les nombres premiers (les nombres qui n'ont que deux diviseurs) jusqu'à un nombre donné : on écrit tous les nombres, puis on raye petit à petit tous les multiples de 2, puis de 3, puis de 5... Cette méthode, appelée le crible d'Ératosthène, est toujours utilisée aujourd'hui, y compris en informatique. Ératosthène est aussi resté célèbre pour avoir calculé, avec une remarquable précision pour l'époque, la circonférence de la Terre !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz