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Statistiques

Données et probabilités Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 10 · Décrire une série statistique · La moyenne d'une série

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Décrire une série statistique

Les mots des statistiques

Pour mener une étude statistique, on recueille des données, puis on les organise. On étudie un caractère (une question posée, une mesure faite…) sur un ensemble d'individus (personnes, objets, animaux…) appelé la population. Le caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (âge, taille, durée…), et qualitatif sinon (couleur préférée, sport pratiqué…).

Définitions

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui ont cette valeur.
L'effectif total est le nombre total d'individus de la population : c'est la somme des effectifs de toutes les valeurs.

Exemple 1 : la fratrie dans la classe de Samir

Samir a demandé à chacun des 24 élèves de sa classe combien il a de frères et sœurs. Voici les réponses, dans l'ordre où il les a notées : c'est une série statistique.

1 – 2 – 0 – 1 – 3 – 1 – 2 – 4 – 1 – 0 – 2 – 1 – 3 – 1 – 2 – 0 – 1 – 2 – 4 – 1 – 3 – 2 – 0 – 1

La population étudiée est l'ensemble des élèves de la classe ; les individus sont les élèves.
Le caractère étudié est le nombre de frères et sœurs. Il est quantitatif : ses valeurs sont les nombres 0, 1, 2, 3 et 4.

On regroupe les réponses dans un tableau des effectifs :

Valeur (nombre de frères et sœurs)	0	1	2	3	4	Total
Effectif (nombre d'élèves)	4	9	6	3	2	24

L'effectif de la valeur « 1 » est 9 : neuf élèves ont un seul frère ou une seule sœur.

Remarque : en additionnant tous les effectifs, on retrouve l'effectif total : 4 + 9 + 6 + 3 + 2 = 24. C'est une bonne façon de vérifier qu'on n'a oublié personne.

Exemple 2 : le sport préféré au collège

On a demandé à 40 élèves de 5e leur sport préféré. Les résultats sont représentés par un diagramme en bâtons :

La population est l'ensemble des 40 élèves interrogés ; les individus sont les élèves.
Le caractère étudié est le sport préféré. Il est qualitatif : ses valeurs (« Football », « Basket »…) ne sont pas des nombres.

Les fréquences

Définition

La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total :

fr \overset{ˊ}{e} quence = \frac{effectif de la valeur}{effectif total}

Remarques : une fréquence peut s'écrire sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage. C'est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %).

Exemple 1 : dans la classe de Samir

9 élèves sur 24 ont un seul frère ou une seule sœur.On lit l'effectif de la valeur et l'effectif total.

f = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

On écrit la fraction, puis on la simplifie.

f = 0, 375 = 37, 5 %

On l'écrit en nombre décimal, puis en pourcentage.

Exemple 2 : le sport préféré

Sport	Football	Basket	Handball	Natation	Tennis	Total
Effectif	12	8	6	10	4	40
Fréquence (fraction)	$\frac{12}{40}$	$\frac{8}{40}$	$\frac{6}{40}$	$\frac{10}{40}$	$\frac{4}{40}$	$\frac{40}{40} = 1$
Fréquence (nombre décimal)	0,3	0,2	0,15	0,25	0,1	1
Fréquence (pourcentage)	30 %	20 %	15 %	25 %	10 %	100 %

Remarque : la somme de toutes les fréquences est toujours égale à 1 (soit 100 %).

La moyenne d'une série

Définition

La moyenne d'une série statistique dont le caractère est quantitatif est la somme de toutes les valeurs de la série, divisée par l'effectif total.

Formule

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}

sont les p valeurs d'une série, sa moyenne est :

M = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{p}}{p}

Exemple 1 : les notes de Jade

Jade a obtenu 12 ; 15 ; 9 ; 14 et 10.La série compte 5 valeurs.

12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60On additionne toutes les valeurs.

M = \frac{60}{5} = 12

On divise par l'effectif total : Jade a 12 de moyenne.

Exemple 2 : la fratrie dans la classe de Samir

La somme des 24 réponses est 38.On additionne les 24 valeurs de la série.

M = \frac{38}{24} \approx 1, 6

On divise par 24 et on arrondit au dixième.

En moyenne, un élève de la classe a environ 1,6 frère ou sœur.On conclut par une phrase.

Remarques : même si toutes les valeurs de la série sont des nombres entiers, la moyenne peut ne pas être un nombre entier (personne n'a « 1,6 » frère !). La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une fréquence

Effectif de la valeur « Football » : 12. Effectif total : 40.

On repère les deux effectifs dans le tableau.

Méthode 2 : construire un diagramme en bâtons

On trace les deux axes : les valeurs en bas, les effectifs à gauche (graduation régulière).

Méthode 3 : construire un diagramme circulaire

Sport	Football	Basket	Handball	Natation	Tennis	Total
Effectif	12	8	6	10	4	40
Fréquence	0,3	0,2	0,15	0,25	0,1	1
Angle	0,3 × 360 = 108°	0,2 × 360 = 72°	0,15 × 360 = 54°	0,25 × 360 = 90°	0,1 × 360 = 36°	360°

Méthode 4 : calculer une moyenne

12 ; 15 ; 14 ; 9 ; 11 ; 13 ; 17

La série compte 7 valeurs : l'effectif total est 7.

Méthode 5 : mener sa propre enquête

Effectif total : 20 réponses · caractère quantitatif.

Valeur	0	1	2	3	4	5	Total
Effectif	1	4	8	4	2	1	20
Fréquence	0,05	0,2	0,4	0,2	0,1	0,05	1
Pourcentage	5 %	20 %	40 %	20 %	10 %	5 %	100 %

Moyenne :

M = \frac{45}{20} = 2, 25

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une fréquence et une moyenne »

Effectif total : 3 + 7 + 6 + 4 = 20 élèves.1. On calcule l'effectif total.

Fréquence de la note 15 :

\frac{6}{20} = 0, 3 = 30 %

.2. Effectif de la valeur ÷ effectif total.

Somme des notes : 3 × 8 + 7 × 12 + 6 × 15 + 4 × 18 = 270.3. Chaque valeur compte autant de fois que son effectif.

Moyenne :

\frac{270}{20} = 13, 5

. La moyenne de la classe est 13,5.4. On divise par l'effectif total et on conclut.

Note	8	12	15	18
Effectif	3	7	6	4

Exercices

Exercice 1

On a demandé à 30 élèves du collège leur moyen de transport pour venir le matin. Quelle est la population étudiée ? Quels sont les individus ? Quel est le caractère étudié ? Est-il quantitatif ou qualitatif ?

Exercice 2

Voici les pointures de 20 élèves : 36 – 38 – 37 – 38 – 39 – 36 – 38 – 40 – 37 – 38 – 39 – 38 – 37 – 36 – 38 – 39 – 40 – 38 – 37 – 38. Construis le tableau des effectifs.

Exercice 3

Dans une classe de 25 élèves, 10 préfèrent le bleu, 5 le rouge, 6 le vert et 4 le noir. Calcule la fréquence de chaque couleur, en nombre décimal puis en pourcentage.

Exercice 4

Calcule la moyenne des notes suivantes : 11 ; 14 ; 8 ; 17 ; 15.

Exercice 5

Voici les températures relevées à midi pendant une semaine : 12 °C ; 15 °C ; 14 °C ; 9 °C ; 11 °C ; 13 °C ; 17 °C. Quelle est la température moyenne ?

Exercice 6

Dans un club de 45 adhérents, 18 sont des filles. Donne la fréquence des filles sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal et de pourcentage.

Exercice 7

Lina a obtenu 12, 9 et 15 à ses trois premiers contrôles. Quelle note doit-elle avoir au quatrième pour obtenir exactement 13 de moyenne ?

Exercice 8

Dans un tableau de fréquences, trois valeurs ont pour fréquences 0,35 ; 0,2 et 0,15. Il reste une seule autre valeur : quelle est sa fréquence ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en géographie. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et géographie

Le climat en graphique

Un climatogramme résume le climat d'une ville : les barres donnent la pluie de chaque mois (en millimètres, échelle de droite) et la courbe la température moyenne (en degrés, échelle de gauche).

quiz À Paris, quelle est la température moyenne de l'année (au dixième près) ? °C

public Maths et géographie : dessiner et mesurer la Terre

Ptolémée invente la latitude et la longitude (2e siècle)

À Alexandrie, en Égypte, le savant grec Claude Ptolémée rassemble dans sa Géographie la position de plus de 8 000 lieux, chacun repéré par deux nombres : sa latitude (au nord ou au sud de l'équateur) et sa longitude (à l'est ou à l'ouest). C'est le même principe qu'un repère du plan… sur une sphère. Son livre, recopié à la main pendant des siècles, guidera les explorateurs jusqu'à la Renaissance.

La carte de Mercator (1569)

Comment aplatir une sphère sur une feuille ? C'est impossible sans déformer ! Le Flamand Gérard Mercator invente une carte où les angles sont respectés : un marin peut y tracer sa route en ligne droite avec sa boussole. Mais les pays proches des pôles y paraissent énormes : sur cette carte, le Groenland semble aussi grand que l'Afrique, alors que l'Afrique est 14 fois plus grande !

Les Cassini cartographient la France (1750-1815)

Pendant quatre générations, la famille Cassini dessine la première carte précise d'un pays entier. Méthode : couvrir la France d'un réseau de triangles dont on mesure les angles depuis les clochers et les collines ; un seul côté est mesuré au sol, tous les autres se calculent. Résultat : 180 grandes feuilles à l'échelle d'une ligne pour cent toises, soit 1 cm pour 864 m environ.

L'horloge qui trouve la longitude (1761)

En mer, la latitude se lit avec la hauteur du Soleil, mais la longitude restait un mystère : des centaines de navires se sont perdus. L'astuce : la Terre fait un tour (360°) en 24 heures, donc 1 heure de décalage = 15° de longitude. Il suffit de comparer l'heure du bateau (midi, quand le Soleil est au plus haut) avec l'heure du port de départ… à condition d'avoir une horloge qui ne se dérègle pas sur un bateau qui tangue. L'horloger anglais John Harrison la construit : en 1761, sa montre ne prend que 5 secondes de retard en 81 jours de traversée !

Les trains inventent les fuseaux horaires (1884)

Autrefois, chaque ville vivait à sa propre heure, réglée sur le Soleil : midi à Brest arrivait 49 minutes après midi à Strasbourg ! Avec les trains, c'était un casse-tête pour les horaires. En 1884, une conférence internationale à Washington choisit le méridien de Greenwich, près de Londres, comme méridien de référence, et le monde est découpé en 24 fuseaux horaires d'une heure chacun.

map À toi ! Sur une carte routière ou un atlas, trouve l'échelle (une petite barre graduée dans un coin). Mesure avec ta règle la distance entre ta ville et une ville que tu connais, puis calcule la vraie distance. Compare avec la distance par la route indiquée sur un panneau ou un site d'itinéraire : laquelle est la plus grande ?

history_edu Un peu d'histoire

Compter la population n'a rien de nouveau : les Égyptiens, les Chinois et les Romains organisaient déjà des recensements pour lever les impôts ou recruter des soldats. Le mot « statistique » est plus récent : il vient du latin status (l'État) et apparaît au 18e siècle en Allemagne, pour désigner l'étude chiffrée d'un pays. Au 19e siècle, l'infirmière britannique Florence Nightingale, pendant la guerre de Crimée, montre grâce à des diagrammes circulaires de son invention que la plupart des soldats meurent de maladies dues au manque d'hygiène plutôt que de leurs blessures : ses graphiques convainquent le gouvernement d'améliorer les hôpitaux. Un bon diagramme peut sauver des vies !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz