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Opérations sur les nombres relatifs

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 11 · Addition de nombres relatifs · Soustraction de nombres relatifs · Somme algébrique

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Addition de nombres relatifs

Règle 1

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun.

Exemples :

(+5) et (+4) sont deux nombres positifs, donc leur somme est positive.
A = (+5) + (+4) = +9
La valeur absolue de la somme est la somme des valeurs absolues, soit 5 + 4 = 9.
(−2,3) et (−11) sont deux nombres négatifs, donc leur somme est négative.
B = (−2,3) + (−11) = −13,3
La valeur absolue de la somme est la somme des valeurs absolues, soit 2,3 + 11 = 13,3.

Remarque : la somme de deux nombres négatifs est toujours négative.

Règle 2

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leurs valeurs absolues (la plus petite à la plus grande), et le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Exemples :

C'est (+15) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est positive.
C = (+15) + (−6) = +9
La valeur absolue de la somme est la différence des valeurs absolues, soit 15 − 6 = 9.
C'est (−9) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est négative.
D = (+3,2) + (−9) = −5,8
La valeur absolue de la somme est la différence des valeurs absolues, soit 9 − 3,2 = 5,8.

Règle 3

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

Exemple :

E = (−7,4) + (+7,4) = 0

Règle 4

Pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs, on peut commencer par regrouper, d'un côté, les nombres positifs et calculer leur somme et, de l'autre, les nombres négatifs et calculer leur somme, puis on applique les règles précédentes.

Exemple :

F = (−6) + (+9) + (−2) + (+5) + (−3)

F = (+9) + (+5) + (−6) + (−2) + (−3)

F = (+14) + (−11) = 3

Remarque : on peut aussi commencer par regrouper les termes opposés s'il y en a.

Soustraction de nombres relatifs

Règle

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.

Exemples :

Soustraire (+10) revient à ajouter (−10).
G = (+6) − (+10) = (+6) + (−10) = −4
Soustraire (−8,5) revient à ajouter (+8,5).
H = (−3,5) − (−8,5) = (−3,5) + (+8,5) = 5

Remarque : la différence de deux nombres égaux est égale à 0. Par exemple : (−8) − (−8) = 0.

Somme algébrique

Règle 1

Dans une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs, on commence par remplacer chaque soustraction par l'addition du nombre opposé.

Exemple :

I = (−5) − (+3,2) − (−9)

I = (−5) + (−3,2) + (+9)

Règle 2

Dans une suite d'additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d'addition et les parenthèses autour de chaque nombre, et le signe d'un nombre positif écrit en début de calcul.

Exemples :

J = (−4) + (+6,5) + (−2)
J = −4 + 6,5 − 2
K = (+3,3) + (−7) − (−15)
K = (+3,3) + (−7) + (+15)
K = 3,3 − 7 + 15

Règle 3

Pour calculer une somme algébrique simplifiée, on peut commencer par regrouper, d'un côté, les nombres positifs et calculer leur somme et, de l'autre, les nombres négatifs et calculer leur somme.

Exemple :

L = 6,5 − 9 + 4 − 3,5 + 11 − 2

L = 6,5 + 4 + 11 − 9 − 3,5 − 2

L = 21,5 − 14,5

L = 7

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : additionner deux nombres relatifs, un « bond » sur la droite graduée

Choisis un exemple : le point part de départ, bondit du nombre de cases indiqué, et atterrit sur le résultat.

≠

Signes différents : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Même signe : on additionne les valeurs absolues, et on garde le signe commun.

Méthode 2 : additionner deux nombres relatifs de signes contraires

N = (+8) + (−14)

On repère les deux nombres relatifs à additionner.

Méthode 3 : calculer une somme algébrique

P = 5,2 − 8 + 3 − 1,2 + 9 − 4

On part d'une somme algébrique déjà simplifiée (sans parenthèses).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Additionner deux nombres relatifs de signes contraires »

M = (+7) + (−12)On repère les deux nombres à additionner.

C'est (−12) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est négative.On compare les valeurs absolues.

M = −(12 − 7) = −5On soustrait les valeurs absolues et on applique le signe trouvé.

Exercices

Exercice 1

Calcule : A = (−8) + (−5) B = (+6,4) + (+3,1) C = (+11) + (−4)

Exercice 2

Calcule : D = (+5) − (+9) E = (−2,5) − (−7,5) F = (−6) − (+6)

Exercice 3

Écris sans parenthèses ni signe d'addition, puis calcule : G = (+4) + (−9,5) + (−2) + (+13,5)

Exercice 4

Calcule astucieusement, en regroupant les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux : H = 8 − 12,5 + 5 − 3 + 7,5 − 2

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en géographie. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et géographie

Des sommets aux abysses

Les altitudes se mesurent à partir du niveau de la mer (0 m) : au-dessus, elles sont positives ; en dessous, négatives. Clique sur deux lieux pour calculer la différence d'altitude.

Clique sur un premier lieu.

public Maths et géographie : dessiner et mesurer la Terre

Ptolémée invente la latitude et la longitude (2e siècle)

À Alexandrie, en Égypte, le savant grec Claude Ptolémée rassemble dans sa Géographie la position de plus de 8 000 lieux, chacun repéré par deux nombres : sa latitude (au nord ou au sud de l'équateur) et sa longitude (à l'est ou à l'ouest). C'est le même principe qu'un repère du plan… sur une sphère. Son livre, recopié à la main pendant des siècles, guidera les explorateurs jusqu'à la Renaissance.

La carte de Mercator (1569)

Comment aplatir une sphère sur une feuille ? C'est impossible sans déformer ! Le Flamand Gérard Mercator invente une carte où les angles sont respectés : un marin peut y tracer sa route en ligne droite avec sa boussole. Mais les pays proches des pôles y paraissent énormes : sur cette carte, le Groenland semble aussi grand que l'Afrique, alors que l'Afrique est 14 fois plus grande !

Les Cassini cartographient la France (1750-1815)

Pendant quatre générations, la famille Cassini dessine la première carte précise d'un pays entier. Méthode : couvrir la France d'un réseau de triangles dont on mesure les angles depuis les clochers et les collines ; un seul côté est mesuré au sol, tous les autres se calculent. Résultat : 180 grandes feuilles à l'échelle d'une ligne pour cent toises, soit 1 cm pour 864 m environ.

L'horloge qui trouve la longitude (1761)

En mer, la latitude se lit avec la hauteur du Soleil, mais la longitude restait un mystère : des centaines de navires se sont perdus. L'astuce : la Terre fait un tour (360°) en 24 heures, donc 1 heure de décalage = 15° de longitude. Il suffit de comparer l'heure du bateau (midi, quand le Soleil est au plus haut) avec l'heure du port de départ… à condition d'avoir une horloge qui ne se dérègle pas sur un bateau qui tangue. L'horloger anglais John Harrison la construit : en 1761, sa montre ne prend que 5 secondes de retard en 81 jours de traversée !

Les trains inventent les fuseaux horaires (1884)

Autrefois, chaque ville vivait à sa propre heure, réglée sur le Soleil : midi à Brest arrivait 49 minutes après midi à Strasbourg ! Avec les trains, c'était un casse-tête pour les horaires. En 1884, une conférence internationale à Washington choisit le méridien de Greenwich, près de Londres, comme méridien de référence, et le monde est découpé en 24 fuseaux horaires d'une heure chacun.

map À toi ! Sur une carte routière ou un atlas, trouve l'échelle (une petite barre graduée dans un coin). Mesure avec ta règle la distance entre ta ville et une ville que tu connais, puis calcule la vraie distance. Compare avec la distance par la route indiquée sur un panneau ou un site d'itinéraire : laquelle est la plus grande ?

history_edu Un peu d'histoire

Poser des règles pour calculer avec des nombres négatifs n'a rien d'évident : c'est le mathématicien indien Brahmagupta qui, en 628, dans son livre Brahmasphutasiddhanta, pose le premier des règles complètes pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres positifs et négatifs (y compris la fameuse règle « moins fois moins donne plus »). Curieusement, alors que les calculs étaient déjà maîtrisés, de nombreux mathématiciens européens ont continué, bien plus tard, à considérer les nombres négatifs comme des résultats « absurdes » ou dépourvus de sens, jusqu'au 17e-18e siècle.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz