Accueil › Cours de maths 5e › Puissances

Puissances

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 15 · Le carré et le cube d'un nombre · Les carrés à connaître · Écrire un nombre comme une puissance · Calculer avec des puissances

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Le carré et le cube d'un nombre

n 3

0 rangée de 3…

Le carré de n : n rangées de n carreaux. Le cube de n : n couches de n × n petits cubes.

Définitions

Le carré d'un nombre $a$ est $a \times a$ . On le note $a^{2}$ et on lit « $a$ au carré ».
Le cube d'un nombre $a$ est $a \times a \times a$ . On le note $a^{3}$ et on lit « $a$ au cube ».

Le petit nombre en haut (2 ou 3) s'appelle l'exposant : il compte les facteurs $a$ .

Exemples :

$7^{2} = 7 \times 7 = 49$
$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$1, 5^{2} = 1, 5 \times 1, 5 = 2, 25$

Piège

Attention :

5^{2}

n'est pas

5 \times 2

5^{2} = 5 \times 5 = 25

alors que

5 \times 2 = 10

Le carré et le cube viennent de la géométrie : l'aire d'un carré de côté 5 cm est

5^{2} = 25

cm² ; le volume d'un cube d'arête 10 cm est

1 0^{3} = 1 000

cm³, c'est-à-dire 1 L.

Les carrés à connaître

a	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$a^{2}$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Le cube de 10

1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1 000

: le cube de 10 est mille.

Les carrés de 0 à 12 s'appellent aussi les carrés parfaits : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. On les retrouve avec les tables de multiplication.

Écrire un nombre comme une puissance

On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même (2 ou 3 fois), donne le nombre :

$49 = 7 \times 7 = 7^{2}$
$125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^{3}$
$64 = 8^{2} = 4^{3}$
$1 000 = 1 0^{3}$

Tous les nombres ne s'écrivent pas comme un carré d'entier : 50 est entre 49 = 7² et 64 = 8².

Calculer avec des puissances

Priorités

Dans un calcul sans parenthèses, on calcule d'abord les puissances, puis les multiplications, puis les additions et soustractions.

$3 + 2^{2} = 3 + 4 = 7$
$2 \times 5^{2} = 2 \times 25 = 50$
$(2 \times 5)^{2} = 1 0^{2} = 100$
$6^{2} - 2^{3} = 36 - 8 = 28$

Calculer $A = 2 x^{2} + 3$ pour $x = 4$ :

$A = 2 \times 4^{2} + 3$
$A = 2 \times 16 + 3$
$A = 32 + 3$
$A = 35$

2 x^{2}

veut dire

2 \times x \times x

: la puissance ne porte que sur

x

, pas sur le 2.

Pour aller plus loin : des exposants plus grands

Puissances d'exposant 4, 5, 6…

On peut multiplier un nombre par lui-même plus de trois fois :

2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

;

1 0^{6} = 1 000 000

(un million). Ces puissances seront étudiées en 4e.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Calculer une expression avec des puissances

B = 4 + 3 \times 2^{3}

Je repère la puissance : elle se calcule en premier.

Écrire un nombre sous la forme d'un carré ou d'un cube

81 = 9 \times 9

Je cherche dans les tables un nombre multiplié par lui-même.

edit Exercices et rédaction

Exercices

Exercice 1

Calcule :

6^{2}

;

3^{3}

;

1 1^{2}

;

1 0^{3}

Exercice 2

Écris sous la forme d'un carré : 64 ; 144 ; 0,25.

Exercice 3

Écris sous la forme d'un cube : 8 ; 125 ; 1 000.

Exercice 4

Calcule

C = 5 + 4^{2}

D = (5 + 4)^{2}

Exercice 5

Calcule

E = 3 \times 2^{2} - 2^{3}

Exercice 6

Calcule

x^{2} + 2 x

pour

x = 5

Exercice 7

Un carré a une aire de 49 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

Exercice 8

Un cube a une arête de 3 cm. Quel est son volume ?

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : pourquoi « au carré » ?

Les mathématiciens grecs, comme Euclide (vers 300 av. J.-C.), pensaient les nombres avec des figures : multiplier un nombre par lui-même, c'était construire un carré de ce côté ; le multiplier encore, c'était construire un cube. Les noms sont restés !

La notation avec un petit exposant en haut, comme 5², a été popularisée par René Descartes en 1637. Avant lui, on écrivait « 5 × 5 » ou on utilisait des mots.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz