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Proportionnalité

Proportionnalité et fonctions Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 7 · Tableau de proportionnalité · Caractérisation graphique de la proportionnalité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Tableau de proportionnalité

Définition

Un tableau de nombres à deux lignes est un tableau de proportionnalité quand les nombres de la seconde ligne s'obtiennent en multipliant les nombres correspondants de la première ligne par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemples : ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

Côté	2 cm	3 cm	5 cm
Périmètre du carré	8 cm	12 cm	20 cm

Les quotients $\frac{8}{2}$ , $\frac{12}{3}$ et $\frac{20}{5}$ sont tous égaux à 4.

Donc ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Côté	2 cm	3 cm	5 cm
Aire du carré	4 cm²	9 cm²	25 cm²

Les quotients $\frac{4}{2}$ , $\frac{9}{3}$ et $\frac{25}{5}$ ne sont pas tous égaux (2, puis 3, puis 5).

Donc ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

Règle

Dans un tableau de proportionnalité, on peut compléter la (les) valeur(s) manquante(s) en utilisant plusieurs méthodes : ① le retour à l'unité ; ② les propriétés de linéarité ; ③ le coefficient de proportionnalité.

Exemple : une voiture consomme 5 L pour parcourir 100 km. Complète le tableau de proportionnalité suivant.

Distance parcourue	100 km	250 km	350 km
Consommation	5 L	?	?

① À l'aide du retour à l'unité :

Quand la voiture parcourt 1 km, elle consomme $\frac{5}{100} = 0, 05$ L.

Quand la voiture parcourt 250 km, elle consomme 250 fois plus, soit $250 \times 0, 05$ L = 12,5 L.

Quand la voiture parcourt 350 km, elle consomme 350 fois plus, soit $350 \times 0, 05$ L = 17,5 L.

② À l'aide des propriétés de linéarité :

100 km × 2,5 = 250 km, donc 5 L × 2,5 = 12,5 L.

100 km + 250 km = 350 km, donc 5 L + 12,5 L = 17,5 L.

③ À l'aide du coefficient de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est $\frac{5}{100} = 0, 05$ . On multiplie chaque distance par 0,05 pour obtenir la consommation correspondante.

Distance parcourue	100 km	250 km	350 km
Consommation	5 L	12,5 L	17,5 L

Caractérisation graphique de la proportionnalité

Propriété 1

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère.

Exemple : un plan a une échelle de 1/500.

Sur le plan	0 cm	1 cm	2 cm	3 cm	4 cm
Dans la réalité	0 m	5 m	10 m	15 m	20 m

On représente cette situation de proportionnalité dans un repère : les points sont alignés avec l'origine du repère.

Propriété 2

Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère alors c'est une situation de proportionnalité.

Remarque : donc si une situation n'est pas représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Exemples : ces graphiques représentent-ils des situations de proportionnalité ?

Oui, ce graphique représente une situation de proportionnalité : les points sont alignés avec l'origine du repère.

Non, ce graphique ne représente pas une situation de proportionnalité : les points sont alignés mais pas avec l'origine du repère.

Non, ce graphique ne représente pas une situation de proportionnalité : les points ne sont pas alignés.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Grandeur et unité

Définition

Une grandeur est ce que l'on peut mesurer (une longueur, une durée, un prix, une masse, un volume, une aire...). Une unité permet d'exprimer la mesure d'une grandeur.

Par exemple, une température est une grandeur, et elle peut s'exprimer dans l'unité °C (degré Celsius).

Jeu : associe chaque grandeur à son unité

Aire

Volume

Durée

Longueur

Masse

Prix

€

m²

0 / 6 paires trouvées.

Évolution d'une grandeur

Méthode

On connaît une valeur initiale de deux grandeurs A et B associées, ainsi qu'un objectif pour B. On veut faire évoluer A pour atteindre cet objectif.

Exemple : une voiture consomme 5 L pour parcourir 100 km. Quelle est sa consommation pour 250 km ?

On note C la consommation cherchée pour 250 km.

On cherche une consommation. Donc on va faire évoluer la consommation initiale (5 L).

Autre méthode : l'association dans un tableau

Méthode

Quand on connaît deux paires de valeurs associées, on peut parfois passer de l'une à l'autre par une opération simple, et appliquer cette même opération sur l'autre grandeur.

Exemple : on connaît les paires (5 ; 100) et (3 ; 60). On cherche la valeur de B associée à A = 8.

On considère A = 8. On veut trouver B.

On remarque que 8 = 5 + 3.

On applique la même addition à B : 100 + 60 = 160.

Autre exemple : toujours avec (5 ; 100) et (3 ; 60), on cherche cette fois la valeur de A associée à B = 40.

On considère B = 40. On veut trouver A.

On remarque que 40 = 100 − 60.

On applique la même soustraction à A : 5 − 3 = 2.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un tableau n'est pas un tableau de proportionnalité »

Énoncé : Voici un tableau de nombres. Justifie qu'il ne s'agit pas d'un tableau de proportionnalité.

3	5	8
12	20	31

\frac{12}{3} = 4

\frac{20}{5} = 4

, mais

\frac{31}{8} = 3, 875

.Ce que je sais : je calcule les quotients.

Or, dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients doivent être égaux.On énonce la propriété (contraposée de la définition).

Donc ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Une recette pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Complète pour 6 personnes et pour 10 personnes, en indiquant la méthode utilisée.

Exercice 2

Recopie et complète ce tableau de proportionnalité, puis donne son coefficient de proportionnalité.

4	7	…
10	…	27,5

Exercice 3

Un graphique représente une situation par des points alignés, mais qui ne passent pas par l'origine du repère. Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifie ta réponse.

Exercice 4

Justifie que le tableau suivant n'est pas un tableau de proportionnalité.

2	5	6
6	15	19

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en géographie. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et géographie

L'échelle d'une carte

Sur cette carte, 1 cm représente 100 km en vrai : c'est une carte à l'échelle

\frac{1}{10 000 000}

. Clique sur deux villes : une règle graduée se pose entre elles. Mesure, puis calcule la vraie distance.

Paris – Marseille : lis la règle (en cm), puis calcule la distance réelle.

public Maths et géographie : dessiner et mesurer la Terre

Ptolémée invente la latitude et la longitude (2e siècle)

À Alexandrie, en Égypte, le savant grec Claude Ptolémée rassemble dans sa Géographie la position de plus de 8 000 lieux, chacun repéré par deux nombres : sa latitude (au nord ou au sud de l'équateur) et sa longitude (à l'est ou à l'ouest). C'est le même principe qu'un repère du plan… sur une sphère. Son livre, recopié à la main pendant des siècles, guidera les explorateurs jusqu'à la Renaissance.

La carte de Mercator (1569)

Comment aplatir une sphère sur une feuille ? C'est impossible sans déformer ! Le Flamand Gérard Mercator invente une carte où les angles sont respectés : un marin peut y tracer sa route en ligne droite avec sa boussole. Mais les pays proches des pôles y paraissent énormes : sur cette carte, le Groenland semble aussi grand que l'Afrique, alors que l'Afrique est 14 fois plus grande !

Les Cassini cartographient la France (1750-1815)

Pendant quatre générations, la famille Cassini dessine la première carte précise d'un pays entier. Méthode : couvrir la France d'un réseau de triangles dont on mesure les angles depuis les clochers et les collines ; un seul côté est mesuré au sol, tous les autres se calculent. Résultat : 180 grandes feuilles à l'échelle d'une ligne pour cent toises, soit 1 cm pour 864 m environ.

L'horloge qui trouve la longitude (1761)

En mer, la latitude se lit avec la hauteur du Soleil, mais la longitude restait un mystère : des centaines de navires se sont perdus. L'astuce : la Terre fait un tour (360°) en 24 heures, donc 1 heure de décalage = 15° de longitude. Il suffit de comparer l'heure du bateau (midi, quand le Soleil est au plus haut) avec l'heure du port de départ… à condition d'avoir une horloge qui ne se dérègle pas sur un bateau qui tangue. L'horloger anglais John Harrison la construit : en 1761, sa montre ne prend que 5 secondes de retard en 81 jours de traversée !

Les trains inventent les fuseaux horaires (1884)

Autrefois, chaque ville vivait à sa propre heure, réglée sur le Soleil : midi à Brest arrivait 49 minutes après midi à Strasbourg ! Avec les trains, c'était un casse-tête pour les horaires. En 1884, une conférence internationale à Washington choisit le méridien de Greenwich, près de Londres, comme méridien de référence, et le monde est découpé en 24 fuseaux horaires d'une heure chacun.

map À toi ! Sur une carte routière ou un atlas, trouve l'échelle (une petite barre graduée dans un coin). Mesure avec ta règle la distance entre ta ville et une ville que tu connais, puis calcule la vraie distance. Compare avec la distance par la route indiquée sur un panneau ou un site d'itinéraire : laquelle est la plus grande ?

history_edu Un peu d'histoire

Selon une légende rapportée par plusieurs auteurs antiques, le savant grec Thalès (6e siècle av. J.-C.) aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide d'Égypte sans même y monter, en utilisant un simple bâton planté dans le sol : il aurait attendu le moment où l'ombre du bâton était égale à sa propre hauteur, sachant qu'à cet instant précis, l'ombre de la pyramide serait elle aussi égale à sa hauteur. Les historiens doutent aujourd'hui que Thalès soit vraiment l'inventeur de cette idée (les Babyloniens et les Égyptiens connaissaient déjà ce principe de proportionnalité), mais l'anecdote reste un bel exemple de la puissance de ces méthodes : mesurer un objet immense sans y toucher.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz