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Nombres relatifs

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 8 · Nombres relatifs · Repérage sur une droite · Repérage dans le plan · Comparaison de relatifs

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Nombres relatifs

Définitions

Un nombre est dit positif lorsqu'il est supérieur ou égal à 0.
Un nombre est dit négatif lorsqu'il est inférieur ou égal à 0.
0 appartient donc à la fois aux nombres positifs et aux nombres négatifs.
L'ensemble formé par tous ces nombres, positifs et négatifs, s'appelle les nombres relatifs.

Exemples :

+7 est un nombre positif ; on peut aussi l'écrire simplement 7.
−4,5 est un nombre négatif : c'est un nombre décimal relatif.
Autres nombres positifs : +20 ; 1,5 ; $\frac{3}{4}$ .
Autres nombres négatifs : −8,3 ; $- \frac{2}{5}$ ; −0,12.

Repérage sur une droite

Définition 1

On dit qu'une droite est graduée lorsqu'on y a choisi un point de départ (appelé origine et noté O) ainsi qu'une longueur de référence appelée l'unité.

Définition 2

Sur une droite graduée, chaque point occupe une position que l'on traduit par un nombre relatif : c'est son abscisse.

Exemple : un nombre relatif et son opposé

Définition 3

La distance qui sépare un point M de l'origine O est appelée la valeur absolue du nombre relatif associé à M.

Exemples :

La valeur absolue de −6 est 6.
La valeur absolue de +9 est 9.

Définition 4

On dit que deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue mais des signes différents.

Exemple :

+2,5 et −2,5 sont deux nombres opposés.

Remarque : un nombre et son opposé occupent des positions symétriques par rapport à l'origine sur une droite graduée, on retrouve ici l'idée de symétrie centrale, avec 0 comme centre.

Repérage dans le plan

Définition 1

Lorsqu'on trace, dans un plan, deux droites graduées perpendiculaires partageant la même origine, on obtient un repère orthogonal. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale est l'axe des ordonnées.

Définition 2

Dans un tel repère, la position de chaque point est donnée par deux nombres relatifs appelés ses coordonnées : le premier est l'abscisse, le second l'ordonnée.

Exemple : repérer un point dans le plan

Remarques :

L'origine O a pour coordonnées (0 ; 0).
Un point situé sur l'axe des abscisses a toujours une ordonnée égale à 0.
Un point situé sur l'axe des ordonnées a toujours une abscisse égale à 0.

Comparaison de relatifs

Règles

Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus grande.
Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif.
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite.

Exemples :

12,3 et 12,08 sont deux nombres positifs. 12,3 a la plus grande valeur absolue, donc 12,3 > 12,08.
−5,2 est négatif et 1,1 est positif, donc 1,1 > −5,2.
−7 et −2 sont deux nombres négatifs : −7 a la plus grande valeur absolue, c'est donc le plus petit des deux, et −7 < −2.

warning Piège classique : un nombre négatif de grande valeur absolue reste un petit nombre. On voit souvent l'erreur −10 > −3 (en ne comparant que les chiffres 10 et 3), c'est l'inverse : −10 < −3.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Comparer deux nombres relatifs »

−9 et −2 sont deux nombres négatifs.
|−9| = 9 et |−2| = 2, donc |−9| > |−2|.
Or, entre deux négatifs, le plus grand est celui de plus petite valeur absolue.
Donc −9 < −2.

Rédaction type : « Donner l'opposé d'un nombre »

−4 et 4 ont la même valeur absolue et des signes contraires.
Donc 4 est l'opposé de −4.

Exercices

Exercice 1

Range dans l'ordre croissant : 4 ; −7 ; −1 ; 0 ; −10 ; 2,5.

Exercice 2

Donne l'opposé de chacun des nombres suivants : 6 ; −3,5 ; 0 ; −12.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en histoire. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et histoire

La frise chronologique

Les historiens comptent les années à partir de la naissance de Jésus-Christ. Les dates avant J.-C. se placent comme des nombres négatifs sur une droite graduée. Clique sur deux événements pour calculer le temps écoulé.

Clique sur un premier événement.

warning Le piège des historiens : il n'y a pas d'année 0

Juste avant l'an 1, il y a l'an 1 avant J.-C. (−1) : l'année 0 n'existe pas. Entre une date avant J.-C. et une date après J.-C., le calcul avec les nombres relatifs donne une année de trop.
Le 1er siècle va de l'an 1 à l'an 100 (et non de 0 à 99). Un siècle se termine donc toujours par une année « ronde » : le 20e siècle va du 1er janvier 1901 au 31 décembre 2000.
Le 21e siècle et le 3e millénaire n'ont pas commencé en 2000, mais le 1er janvier 2001 ! L'an 2000 était la dernière année du 20e siècle et du 2e millénaire… même si le monde entier a fait la fête le 31 décembre 1999.
Avant J.-C., c'est à l'envers : le 1er siècle avant J.-C. va de −100 à −1, et la bataille d'Alésia (−52) s'y trouve.
Pour trouver le siècle d'une année après J.-C. : on enlève 1, on garde le nombre de centaines, on ajoute 1. Exemple pour 1789 :
1789 − 1 = 1788
1788 : 17 centaines
17 + 1 = 18e siècle

quiz L'année 1462 fait partie de quel siècle ? e siècle

account_balance Maths et histoire : compter, dater, construire, coder

Le papyrus du scribe Ahmès (vers 1650 avant J.-C.)

Le papyrus Rhind, du nom de l'Écossais qui l'acheta en 1858, mesure plus de 5 mètres de long. Le scribe Ahmès y a recopié 84 problèmes : partager des pains entre des ouvriers, calculer l'aire d'un champ, le volume d'un grenier… Il est conservé au British Museum, à Londres. C'est l'un des plus anciens « manuels de maths » connus.

Les tablettes de Babylone et la base 60

En Mésopotamie, les scribes écrivaient en appuyant un roseau taillé dans l'argile fraîche. Ils comptaient par soixantaines : c'est de là que viennent nos 60 minutes dans une heure, nos 60 secondes dans une minute et les 360 degrés d'un tour complet. Des milliers de tablettes de calcul ont été retrouvées : tables de multiplication, problèmes, et même des exercices d'écoliers avec leurs erreurs !

Les pyramides : un chantier géant

La pyramide de Khéops, à Gizeh, est restée le plus haut monument construit par les humains pendant près de 3 800 ans, jusqu'à la cathédrale de Lincoln en Angleterre, vers 1311. Ses bâtisseurs n'étaient pas des esclaves, comme on l'a longtemps cru, mais des ouvriers organisés en équipes, nourris et logés près du chantier : les archéologues ont retrouvé leur village.

Des chiffres romains aux chiffres indo-arabes

Pendant plus de mille ans, l'Europe a écrit les nombres en chiffres romains, et calculé avec des jetons sur une table, l'abaque. Nos chiffres, avec le zéro, viennent de l'Inde et sont arrivés en Europe par les savants arabes, au Moyen Âge. On voit encore des chiffres romains pour les siècles (le XXIe siècle), les rois (Louis XIV), les cadrans d'horloge et les dates gravées sur les monuments.

Pourquoi n'y a-t-il pas d'année 0 ?

Notre façon de compter les années a été inventée vers 525 par un moine, Denys le Petit, qui fixa l'an 1 à la naissance de Jésus-Christ, comme il la calculait. En Europe, à cette époque, on ne connaissait pas encore le zéro : il n'y a donc pas d'année 0. C'est pourquoi les siècles commencent en …01 et que le 21e siècle a commencé le 1er janvier 2001.

Des codes secrets : de César à Alan Turing

Jules César chiffrait ses messages militaires par décalage. Au 9e siècle, à Bagdad, Al-Kindi écrit le premier traité pour casser les codes, grâce aux fréquences des lettres. Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisent la machine Enigma, réputée inviolable : le mathématicien anglais Alan Turing et son équipe, à Bletchley Park, parviennent à la déchiffrer, en s'appuyant sur les travaux de mathématiciens polonais. On estime que cela a raccourci la guerre de plusieurs années.

travel_explore À toi ! Cherche une date en chiffres romains dans ta ville : sur un monument aux morts, le fronton d'une mairie ou d'une école, une vieille maison, le cadran d'une horloge… Note-la, puis traduis-la en chiffres d'aujourd'hui. De quel siècle est-elle ?

history_edu Un peu d'histoire

Les nombres négatifs sont utilisés bien avant d'être vraiment acceptés par les mathématiciens ! Dès environ 200 av. J.-C., en Chine, on utilisait des baguettes de calcul rouges pour les nombres positifs et noires pour les négatifs, notamment pour tenir des comptes commerciaux. Vers 628, en Inde, le mathématicien Brahmagupta est le premier à poser clairement des règles de calcul avec des nombres négatifs (addition, soustraction...). En Europe, en revanche, il faudra attendre le 17e siècle, voire le 19e siècle pour certains savants, avant que les nombres négatifs soient pleinement acceptés comme des nombres à part entière.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

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