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Statistiques

Données et probabilités Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 7 · L'histogramme · Les indicateurs de position · Un indicateur de dispersion : l'étendue

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

L'histogramme

Définition

Lorsque le caractère étudié est quantitatif continu (une durée, une masse, une taille…), les valeurs sont regroupées en classes, et la série peut être représentée par un histogramme : l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) de la classe.

Remarque : en 3e, toutes les classes ont la même amplitude (la même largeur). Dans ce cas, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence.

Exemple : on a demandé aux 40 élèves de 3e d'un collège leur temps de trajet entre la maison et le collège.

Temps (en min)	Nombre d'élèves
[0 ; 10[	6
[10 ; 20[	14
[20 ; 30[	11
[30 ; 40[	7
[40 ; 50[	2

La classe [10 ; 20[ contient les temps de 10 min (compris) à 20 min (non compris). Toutes les classes ont une amplitude de 10 min.
La classe la plus fréquente est [10 ; 20[ : 14 élèves sur 40, soit une fréquence de $\frac{14}{40} = 0, 35$ , c'est-à-dire 35 %.

Les indicateurs de position

La moyenne pondérée

Définition

On considère la série statistique suivante :

Valeur du caractère	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	…	$x_{p}$
Effectif	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	…	$n_{p}$
Fréquence $f$	$\frac{n_{1}}{N}$	$\frac{n_{2}}{N}$	$\frac{n_{3}}{N}$	…	$\frac{n_{p}}{N}$

L'effectif total est $N = n_{1} + n_{2} + n_{3} + \dots + n_{p}$ .
La moyenne de la série est $M = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{p} x_{p}}{N}$ .
Avec les fréquences : $M = f_{1} x_{1} + f_{2} x_{2} + f_{3} x_{3} + \dots + f_{p} x_{p}$ .

Exemple : l'équipe de basket du collège a joué 20 matchs. Voici le nombre de points marqués par match.

Points marqués	42	48	51	55	60
Effectif (matchs)	2	5	6	4	3
Fréquence	0,1	0,25	0,3	0,2	0,15

La population étudiée est l'ensemble des 20 matchs ; le caractère étudié, le nombre de points marqués, est quantitatif. L'effectif total est N = 20.

M = \frac{2 \times 42 + 5 \times 48 + 6 \times 51 + 4 \times 55 + 3 \times 60}{20}

Avec les effectifs : chaque valeur est multipliée par son effectif.

M = \frac{1 030}{20}

M = 51, 5

M = 0, 1 \times 42 + 0, 25 \times 48 + 0, 3 \times 51 + 0, 2 \times 55 + 0, 15 \times 60

Avec les fréquences : même résultat.

M = 51, 5

L'équipe marque en moyenne 51,5 points par match.

La médiane

Définition

La médiane d'une série statistique dont les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant est un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif.

Remarques :

Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale.
Si l'effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple 1 (effectif impair) : les températures maximales, en °C, relevées une semaine de mai : 18 ; 21 ; 17 ; 23 ; 19 ; 22 ; 20.

Rangées : 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23. Il y a 7 valeurs : la médiane est la 4e, soit 20 °C (3 valeurs en dessous, 3 au-dessus).

Exemple 2 (effectif pair) : on reprend les 20 matchs de basket.

L'effectif est pair (20) : la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs rangées. D'après le tableau, les 2 premières valeurs valent 42, les 5 suivantes 48 (jusqu'à la 7e), les 6 suivantes 51 (de la 8e à la 13e). Les 10e et 11e valent donc 51 : la médiane est 51 points.
Au moins la moitié des matchs se sont terminés avec 51 points ou moins, et au moins la moitié avec 51 points ou plus.

Un indicateur de dispersion : l'étendue

Définition

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.

Exemple 1 : pour les matchs de basket, l'étendue est 60 − 42 = 18 points. Pour les températures, elle est 23 − 17 = 6 °C.

Exemple 2 : le graphique ci-dessous indique la quantité d'eau consommée chaque mois par un collège, en m³.

La plus grande valeur est 46 m³ (novembre), la plus petite 9 m³ (août, pendant les vacances). L'étendue est 46 − 9 = 37 m³.

L'étendue mesure la dispersion des valeurs : plus elle est grande, plus les valeurs sont éloignées les unes des autres. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des étendues très différentes (Méthode 4).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : construire un histogramme

381052

Effectif total : N = 28
Fréquences : [2 ; 4[ : 10,7 % · [4 ; 6[ : 28,6 % · [6 ; 8[ : 35,7 % · [8 ; 10[ : 17,9 % · [10 ; 12[ : 7,1 %

Méthode 2 : la moyenne, point d'équilibre

48101214161820

10 notes · somme 120 · moyenne = 12 · médiane 12 · étendue 16 − 8 = 8

Méthode 3 : trouver la médiane avec les effectifs cumulés

Pointure	36	37	38	39	40	41	42
Effectif	2	4	6	7	5	4	3
Effectif cumulé	2	6	12	19	24	28	31

N = 31

L'effectif total est la dernière valeur de la ligne des effectifs cumulés.

Méthode 4 : même moyenne, dispersion différente

Inès	11	12	13	12	12
Hugo	4	19	8	17	12

Inès :

M = \frac{11 + 12 + 13 + 12 + 12}{5} = \frac{60}{5} = 12

Moyenne d'Inès.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau »

N = 2 + 5 + 6 + 4 + 3 = 201. On calcule l'effectif total.

M = \frac{2 \times 42 + 5 \times 48 + 6 \times 51 + 4 \times 55 + 3 \times 60}{20}

2. Chaque valeur multipliée par son effectif, divisé par N.

M = \frac{1 030}{20} = 51, 5

3. On calcule.

L'équipe marque en moyenne 51,5 points par match.4. On répond avec l'unité.

Exercices

Exercice 1

On reprend l'histogramme des temps de trajet des 40 élèves (cours). a) Combien d'élèves mettent au moins 30 minutes ? b) Quelle est la fréquence de ces élèves, en pourcentage ?

Exercice 2

Voici les notes (sur 5) obtenues à un QCM par une classe. Calcule la note moyenne.

Note	0	1	2	3	4	5
Effectif	1	2	4	7	4	2

Exercice 3

Dans une série, la valeur 10 a une fréquence de 0,2, la valeur 12 une fréquence de 0,5 et la valeur 15 une fréquence de 0,3. Calcule la moyenne.

Exercice 4

Temps (en min) mis par 11 coureurs pour faire un tour de parcours : 14 ; 9 ; 17 ; 12 ; 20 ; 11 ; 15 ; 13 ; 16 ; 10 ; 18. Détermine la médiane et l'étendue.

Exercice 5

On reprend les notes au QCM de l'exercice 2. Détermine la note médiane.

Exercice 6

Deux classes ont obtenu la même moyenne de 12 à un contrôle. Dans la 3e A, l'étendue des notes est de 4 ; dans la 3e B, elle est de 15. Que peut-on en déduire ?

Exercice 7

Léa a obtenu 11, 14 et 9 à ses trois premiers contrôles. Quelle note doit-elle obtenir au quatrième pour avoir exactement 12 de moyenne ?

Exercice 8

Avec des classes, on estime la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre (par exemple 15 pour [10 ; 20[). Estime le temps de trajet moyen des 40 élèves du cours.

Exercice 9

Vrai ou faux ? Justifie. a) La moyenne est toujours une des valeurs de la série. b) La moitié au moins des valeurs est inférieure ou égale à la médiane. c) Si on ajoute 2 à toutes les valeurs, l'étendue augmente de 2.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en histoire. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et histoire

Casser le code de Jules César

Pour ses messages secrets, Jules César décalait chaque lettre de l'alphabet de 3 rangs : A devient D, B devient E… Un espion a intercepté le message ci-dessous, mais il ne connaît pas le décalage. Au 9e siècle, le savant arabe Al-Kindi a trouvé comment faire : regarder les fréquences des lettres.

Message intercepté :

AP GTXCT TCKTGGP HTH BTHHPVTGH STBPXC BPIXC XAH EDGITGDCI JCT ATIIGT HRTAATT FJT ETGHDCCT CT SDXI AXGT ATH TCCTBXH HJGKTXAATCI ATH GDJITH PADGH XA UPJSGP EPHHTG EPG AP UDGTI TI PIITCSGT AT HXVCPA STH VJTIITJGH

Avec ce décalage, on lit :

Les barres brunes donnent la fréquence de chaque lettre dans le message, les bleues la fréquence habituelle en français. Fais glisser le décalage jusqu'à ce qu'elles se ressemblent.

account_balance Maths et histoire : compter, dater, construire, coder

Le papyrus du scribe Ahmès (vers 1650 avant J.-C.)

Le papyrus Rhind, du nom de l'Écossais qui l'acheta en 1858, mesure plus de 5 mètres de long. Le scribe Ahmès y a recopié 84 problèmes : partager des pains entre des ouvriers, calculer l'aire d'un champ, le volume d'un grenier… Il est conservé au British Museum, à Londres. C'est l'un des plus anciens « manuels de maths » connus.

Les tablettes de Babylone et la base 60

En Mésopotamie, les scribes écrivaient en appuyant un roseau taillé dans l'argile fraîche. Ils comptaient par soixantaines : c'est de là que viennent nos 60 minutes dans une heure, nos 60 secondes dans une minute et les 360 degrés d'un tour complet. Des milliers de tablettes de calcul ont été retrouvées : tables de multiplication, problèmes, et même des exercices d'écoliers avec leurs erreurs !

Les pyramides : un chantier géant

La pyramide de Khéops, à Gizeh, est restée le plus haut monument construit par les humains pendant près de 3 800 ans, jusqu'à la cathédrale de Lincoln en Angleterre, vers 1311. Ses bâtisseurs n'étaient pas des esclaves, comme on l'a longtemps cru, mais des ouvriers organisés en équipes, nourris et logés près du chantier : les archéologues ont retrouvé leur village.

Des chiffres romains aux chiffres indo-arabes

Pendant plus de mille ans, l'Europe a écrit les nombres en chiffres romains, et calculé avec des jetons sur une table, l'abaque. Nos chiffres, avec le zéro, viennent de l'Inde et sont arrivés en Europe par les savants arabes, au Moyen Âge. On voit encore des chiffres romains pour les siècles (le XXIe siècle), les rois (Louis XIV), les cadrans d'horloge et les dates gravées sur les monuments.

Pourquoi n'y a-t-il pas d'année 0 ?

Notre façon de compter les années a été inventée vers 525 par un moine, Denys le Petit, qui fixa l'an 1 à la naissance de Jésus-Christ, comme il la calculait. En Europe, à cette époque, on ne connaissait pas encore le zéro : il n'y a donc pas d'année 0. C'est pourquoi les siècles commencent en …01 et que le 21e siècle a commencé le 1er janvier 2001.

Des codes secrets : de César à Alan Turing

Jules César chiffrait ses messages militaires par décalage. Au 9e siècle, à Bagdad, Al-Kindi écrit le premier traité pour casser les codes, grâce aux fréquences des lettres. Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisent la machine Enigma, réputée inviolable : le mathématicien anglais Alan Turing et son équipe, à Bletchley Park, parviennent à la déchiffrer, en s'appuyant sur les travaux de mathématiciens polonais. On estime que cela a raccourci la guerre de plusieurs années.

travel_explore À toi ! Cherche une date en chiffres romains dans ta ville : sur un monument aux morts, le fronton d'une mairie ou d'une école, une vieille maison, le cadran d'une horloge… Note-la, puis traduis-la en chiffres d'aujourd'hui. De quel siècle est-elle ?

history_edu Un peu d'histoire

Pendant la guerre de Crimée (1853-1856), l'infirmière britannique Florence Nightingale constate que bien plus de soldats meurent des maladies attrapées à l'hôpital que de leurs blessures. Pour convaincre les responsables politiques, elle ne se contente pas de tableaux de nombres : elle invente un diagramme coloré, en forme de rosace, qui montre mois par mois les causes de décès. Son travail conduit à de grandes réformes de l'hygiène dans les hôpitaux, et elle devient en 1859 la première femme membre de la Société royale de statistique de Londres. Quelques décennies plus tard, le statisticien Karl Pearson popularise le mot « histogramme » pour les graphiques en rectangles accolés que l'on utilise dans ce chapitre.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz