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Puissances

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 6 · Les puissances d'un nombre relatif · Les puissances de 10 · L'écriture scientifique

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Les puissances d'un nombre relatif

Avec un exposant positif

Définition

Pour tout nombre entier positif non nul n et tout nombre relatif a :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

et, par convention,

a^{0} = 1

(pour a ≠ 0).

a^{n}

(lu « a puissance n ») est la puissance n-ième de a ; n est l'exposant.

Exemples :

$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ; $7^{1} = 7$ ; $7^{0} = 1$ .
$(- 4)^{3} = (- 4) \times (- 4) \times (- 4) = - 64$ (3 facteurs négatifs : résultat négatif) et $(- 1)^{10} = 1$ (10 facteurs négatifs : résultat positif).

Remarque :

a^{1} = a

. Attention aux parenthèses :

(- 3)^{2} = 9

mais

- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9

Avec un exposant négatif

Définition

Pour tout nombre entier positif non nul n et tout nombre relatif non nul a :

a^{- n} = \frac{1}{\underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}} = \frac{1}{a^{n}}

Remarque :

a^{- 1} = \frac{1}{a}

est l'inverse de a. Par exemple,

4^{- 1} = \frac{1}{4} = 0, 25

Exemples :

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0, 125$
$(- 5)^{- 2} = \frac{1}{(- 5)^{2}} = \frac{1}{25} = 0, 04$

Les puissances dans un calcul

Propriété

En l'absence de parenthèses, le calcul de la puissance est prioritaire sur les autres opérations.

Exemples :

A = 2 + 5 \times 2^{3}

La puissance, puis la multiplication, puis l'addition.

A = 2 + 5 \times 8

A = 2 + 40

A = 42

B = (2 + 5)^{2}

Avec des parenthèses, on calcule d'abord leur contenu.

B = 7^{2}

B = 49

Les puissances de 10

Définitions

Définition 1

Pour tout nombre entier positif non nul n :

1 0^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times \dots \times 10}} = 1 \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}}

et, par convention,

1 0^{0} = 1

Définition 2

Pour tout nombre entier positif non nul n :

1 0^{- n} = \frac{1}{1 0^{n}} = 0, \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} ⁣ 1

(le 1 est au n-ième rang après la virgule).

Exemples : $1 0^{7} = 10 000 000$ (7 zéros) et $1 0^{- 5} = 0, 000 01$ (le 1 au 5e rang après la virgule).

Les préfixes

Définition

Ces préfixes, placés devant une unité, désignent des multiples de puissances de 10 :

Téra	Giga	Méga	Kilo	Hecto	Déca	Déci	Centi	Milli	Micro	Nano	Pico
$\times 1 0^{12}$	$\times 1 0^{9}$	$\times 1 0^{6}$	$\times 1 0^{3}$	$\times 1 0^{2}$	$\times 1 0^{1}$	$\times 1 0^{- 1}$	$\times 1 0^{- 2}$	$\times 1 0^{- 3}$	$\times 1 0^{- 6}$	$\times 1 0^{- 9}$	$\times 1 0^{- 12}$

Exemples : 1 mégaoctet = $1 0^{6}$ octets ; 1 microseconde = $1 0^{- 6}$ seconde ; 1 centilitre = $1 0^{- 2}$ litre.

Calculer avec des puissances de 10

Propriétés

Pour tous nombres entiers relatifs m et p :

1 0^{m} \times 1 0^{p} = 1 0^{m + p}

\frac{1 0^{m}}{1 0^{p}} = 1 0^{m - p}

Exemples :

C = 1 0^{6} \times 1 0^{- 2}

On additionne les exposants.

C = 1 0^{6 + (- 2)}

C = 1 0^{4}

C = 10 000

D = \frac{1 0^{- 3}}{1 0^{5}}

On soustrait les exposants.

D = 1 0^{- 3 - 5}

D = 1 0^{- 8}

L'écriture scientifique

Multiplier par une puissance de 10

Propriétés

Multiplier un nombre par $1 0^{n}$ revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire).
Multiplier un nombre par $1 0^{- n}$ revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire).

Exemples : $45, 17 \times 1 0^{3} = 45 170$ et $6, 2 \times 1 0^{- 4} = 0, 000 62$ .

L'écriture scientifique d'un nombre

Définition

Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme

a \times 1 0^{n}

où :

a, appelé mantisse, est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule ;
n est un nombre entier relatif.

Exemples :

Population mondiale (2024) : environ 8 100 000 000 habitants = $8, 1 \times 1 0^{9}$ habitants.
Distance Terre – Lune : 384 400 km = $3, 844 \times 1 0^{5}$ km.
Diamètre d'un globule rouge : 0,000 007 m = $7 \times 1 0^{- 6}$ m.
Masse d'un grain de sable : environ 0,000 000 67 kg = $6, 7 \times 1 0^{- 7}$ kg.

Attention :

34, 5 \times 1 0^{- 2}

n'est pas une écriture scientifique (deux chiffres avant la virgule). Comme

34, 5 = 3, 45 \times 1 0^{1}

, on écrit

34, 5 \times 1 0^{- 2} = 3, 45 \times 1 0^{- 1}

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : la machine à puissances

(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8

3 facteurs négatifs : nombre impair, le résultat est négatif.

Méthode 2 : un calcul type brevet avec des puissances de 10

E = \frac{6 \times 4}{3} \times \frac{1 0^{5} \times 1 0^{- 8}}{1 0^{- 2}}

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.

Méthode 3 : trouver l'écriture scientifique d'un nombre

4,8

Méthode 4 : de l'atome à l'Univers

Un élève de 3e

≈ 1,6 m

10⁻¹⁰ m1 m10²⁶ m

Exposant de 10 : 0 — par rapport à l'objet précédent, l'exposant a augmenté de 2.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Donner l'écriture scientifique d'un calcul »

F = \frac{3 \times 1 0^{5} \times 8 \times 1 0^{- 2}}{6 \times 1 0^{4}}

Le calcul à effectuer.

F = \frac{3 \times 8}{6} \times \frac{1 0^{5} \times 1 0^{- 2}}{1 0^{4}}

1. On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.

F = 4 \times 1 0^{5 + (- 2) - 4} = 4 \times 1 0^{- 1}

2. On calcule chaque partie avec les règles sur les exposants.

F = 4 \times 1 0^{- 1} = 0, 4

3. On vérifie que la mantisse n'a qu'un chiffre non nul avant la virgule.

Exercices

Exercice 1

Calcule :

3^{3}

;

(- 2)^{6}

;

(- 2)^{7}

;

- 2^{6}

;

9^{0}

;

0, 1^{3}

Exercice 2

Écris sous forme d'une fraction, puis d'un nombre décimal :

2^{- 4}

;

5^{- 1}

;

(- 2)^{- 3}

;

1 0^{- 3}

Exercice 3

Calcule en respectant les priorités :

A = 4 - 3 \times 2^{2}

;

B = (4 - 3) \times 2^{2}

;

C = 1 + 2 \times 1 0^{3}

Exercice 4

Écris sous la forme d'une seule puissance de 10 :

1 0^{4} \times 1 0^{7}

;

1 0^{- 3} \times 1 0^{5}

;

\frac{1 0^{8}}{1 0^{3}}

;

\frac{1 0^{2}}{1 0^{- 6}}

Exercice 5

Convertis à l'aide des préfixes : a) 3 Go (gigaoctets) en octets ; b) 250 nm (nanomètres) en mètres, en écriture scientifique ; c) 5 ms (millisecondes) en secondes.

Exercice 6

Donne l'écriture scientifique de : 725 000 ; 0,000 48 ;

58, 3 \times 1 0^{4}

;

0, 07 \times 1 0^{- 3}

Exercice 7

Donne l'écriture scientifique de

G = \frac{2 \times 1 0^{- 3} \times 9 \times 1 0^{7}}{1, 2 \times 1 0^{2}}

Exercice 8

La lumière se déplace à environ

3 \times 1 0^{5}

km/s. La distance entre la Terre et le Soleil est d'environ

1, 5 \times 1 0^{8}

km. Combien de temps met la lumière du Soleil pour nous parvenir ?

Exercice 9

Range dans l'ordre croissant :

2, 3 \times 1 0^{8}

;

9, 8 \times 1 0^{7}

;

1, 05 \times 1 0^{8}

;

4 \times 1 0^{- 2}

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise dans les jeux. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et jeux

Les tours de Hanoï

Déplace toute la tour sur le piquet de droite. Une seule règle : on bouge un disque à la fois, et jamais un grand disque sur un plus petit. Clique sur un piquet pour prendre son disque du haut, puis sur un autre pour le poser.

Déplacements : 0

Avec 3 disques, peux-tu y arriver en moins de 8 déplacements ?

extension Maths et jeux : une très longue histoire

Le carré magique de la tortue (Chine)

Une légende chinoise raconte qu'il y a plus de 4 000 ans, une tortue sortit du fleuve Luo. Sur sa carapace, des points dessinaient les nombres de 1 à 9 rangés en carré : chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale faisait 15. C'est le Lo Shu, le plus ancien carré magique connu. Bien plus tard, en 1514, le peintre allemand Albrecht Dürer cache un carré magique de 4 cases sur 4 dans sa gravure Melencolia I : en bas, au milieu, on lit l'année… 15 14 !

Les osselets et les premiers dés

Dans l'Antiquité, on jouait avec des astragales, de petits os de mouton à quatre faces : nos osselets. Les Égyptiens, les Grecs et les Romains jouaient aussi aux dés, déjà marqués de 1 à 6, avec les faces opposées qui font toujours 7. Au jeu royal d'Ur, en Mésopotamie, on lançait des dés en forme de pyramide il y a 4 500 ans.

Quand les jeux de hasard inventent les probabilités

Vers 1620, Galilée explique à des joueurs de Florence pourquoi, avec trois dés, la somme 10 sort plus souvent que la somme 9. En 1654, le chevalier de Méré, grand joueur, pose à Blaise Pascal le « problème des partis » : une partie est interrompue, comment partager équitablement l'argent misé ? Pascal en discute par lettres avec Pierre de Fermat : leur correspondance est considérée comme la naissance du calcul des probabilités.

Le jeu des allumettes : un jeu « résolu »

On joue à prendre des objets chacun son tour depuis très longtemps, partout dans le monde. En 1901, le mathématicien américain Charles Bouton donne à ce jeu le nom de Nim et trouve la stratégie gagnante pour toutes ses variantes. Le jeu est devenu célèbre en France grâce à l'émission Fort Boyard, où les candidats affrontent un maître du jeu… qui connaît le secret.

Les tours de Hanoï et la légende de Bénarès (1883)

Le mathématicien français Édouard Lucas invente ce casse-tête en 1883 et le vend sous un faux nom, « N. Claus de Siam »… l'anagramme de « Lucas d'Amiens ». Il l'accompagne d'une légende : dans un temple, des moines déplacent jour et nuit une tour de 64 disques d'or ; quand ils auront fini, ce sera la fin du monde. Rassure-toi : il faut 2⁶⁴ − 1 déplacements, soit plus de 580 milliards d'années à raison d'un déplacement par seconde !

sports_esports À toi ! Joue au jeu des allumettes avec quelqu'un de ta famille, avec des crayons ou des pièces, en utilisant le secret. Gagnes-tu à chaque fois ? Puis invente une variante (on peut prendre 1, 2, 3 ou 4 objets) : quel est le nouveau secret ?

history_edu Un peu d'histoire

En 1977, les designers américains Charles et Ray Eames réalisent un court film resté célèbre, Powers of Ten (« Puissances de dix ») : la caméra part d'un couple pique-niquant dans un parc, vu d'un mètre de haut, puis s'éloigne en multipliant la distance par 10 toutes les 10 secondes… jusqu'aux confins de l'Univers visible (

1 0^{24}

m). Puis elle revient et plonge dans la main d'un des personnages, jusqu'à l'intérieur d'un atome (

1 0^{- 16}

m). En quelques minutes, on traverse 40 puissances de 10 ! Les scientifiques manipulent tous les jours de tels nombres : le nombre d'atomes dans 12 g de carbone, le « nombre d'Avogadro », vaut environ

6, 022 \times 1 0^{23}

. Sans l'écriture scientifique, il faudrait l'écrire avec 24 chiffres ! (Le zoom de l'onglet Méthode s'inspire de ce film.)

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz