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Heures et durée

Grandeurs et mesures Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 20 · Unités de mesure de durées · Conversions de durées · Écritures sexagésimale et décimale d'une durée

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Unités de mesure de durées

1 millénaire = 1 000 ans	1 siècle = 100 ans	1 année = 365 ou 366 jours (bissextile)
1 jour = 24 h	1 h = 60 min	1 min = 60 s
1 h = 3 600 s

Conversions de durées

Exemple 1 : combien de secondes y a-t-il dans 3 h 24 min 17 s ?

$3 h = 3 \times 3 600 s = 10 800 s$
$24 min = 24 \times 60 s = 1 440 s$
$3 h 24 min 17 s = 10 800 s + 1 440 s + 17 s = 12 257 s$

Exemple 2 : combien d'heures, minutes et secondes y a-t-il dans 25 000 s ?

On convertit d'abord les secondes en minutes et secondes, en divisant 25 000 par 60.

25 000 = 60 \times 416 + 40

416 est le plus grand nombre tel que 60 × 416 ≤ 25 000.

Donc 25 000 s = 416 min 40 s.

On convertit ensuite les minutes en heures et minutes, en divisant 416 par 60.

416 = 60 \times 6 + 56

6 est le plus grand nombre tel que 60 × 6 ≤ 416.

Donc 416 min = 6 h 56 min.

On a donc 25 000 s = 6 h 56 min 40 s.

Écritures sexagésimale et décimale d'une durée

Passage de l'écriture sexagésimale à l'écriture décimale

Exemple : convertis 5 h 24 min en écriture décimale.

1 h = 60 min, donc $1 min = \frac{1}{60} h$ et $24 min = 24 \times \frac{1}{60} h = \frac{24}{60} h = 0, 4 h$
donc 5 h 24 min = 5,4 h.

Passage de l'écriture décimale à l'écriture sexagésimale

Exemple : convertis 2,85 h en heures et minutes.

$2, 85 h = 2 h + 0, 85 h$ . Or 1 h = 60 min, donc $0, 85 h = 0, 85 \times 60 min = 51 min$
donc 2,85 h = 2 h 51 min.

Remarque : on a les égalités suivantes :

0, 5 h = \frac{1}{2} h = 30 min

0, 25 h = \frac{1}{4} h = 15 min

0, 75 h = \frac{3}{4} h = 45 min

0, 1 h = \frac{1}{10} h = 6 min

0, 2 h = \frac{1}{5} h = 12 min

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Additionner ou soustraire des durées en les posant

On pose l'opération comme pour des nombres entiers, colonne par colonne (secondes, puis minutes, puis heures) -- mais avec une retenue de 60 et non de 10.

Addition : 2 h 47 min 38 s + 1 h 26 min 45 s

	h	min	s

	2	47	38
+	1	26	45

Clique sur « Étape suivante » pour commencer.

Soustraction : 5 h 12 min 18 s − 2 h 45 min 50 s

	h	min	s

	5	12	18
−	2	45	50

Clique sur « Étape suivante » pour commencer.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Convertir une durée en secondes »

... h

= ... \times 3 600 s = ... s

... min

= ... \times 60 s = ... s

On additionne les secondes obtenues (et celles déjà données) pour trouver la durée totale en secondes.

Rédaction type : « Convertir une écriture décimale en heures et minutes »

...,... h = ... h + 0,... h. Or 1 h = 60 min, donc 0,... h = 0,... × 60 min = ... min.
Donc ...,... h = ... h ... min.

Exercices

Exercice 1

Combien de secondes y a-t-il dans 1 h 15 min 42 s ?

Exercice 2

Combien d'heures, minutes et secondes y a-t-il dans 9 500 s ?

Exercice 3

Convertis 3 h 12 min en écriture décimale.

Exercice 4

Convertis 4,6 h en heures et minutes.

Exercice 5

Pose et calcule 3 h 35 min 50 s + 2 h 48 min 22 s.

Exercice 6

Pose et calcule 6 h 10 min 5 s − 3 h 42 min 38 s.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en histoire. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et histoire

Pourquoi 60 minutes dans une heure ?

Il y a 4 000 ans, les Babyloniens comptaient par soixantaines. On pense qu'ils comptaient sur leurs doigts : en regardant la paume de sa main droite, on touche avec le pouce les 12 phalanges des quatre autres doigts ; chaque fois qu'on arrive à 12, on lève un doigt de la main gauche. Avec 5 doigts levés : 5 fois 12, c'est 60. Nos minutes fonctionnent ainsi : à 60, les mains sont pleines, c'est une heure.

Les mains sont fermées : 0 minute.

schedule À toi : Un cours commence à 7 h 26 et dure 55 min. À quelle heure se termine-t-il ?

h min

account_balance Maths et histoire : compter, dater, construire, coder

Le papyrus du scribe Ahmès (vers 1650 avant J.-C.)

Le papyrus Rhind, du nom de l'Écossais qui l'acheta en 1858, mesure plus de 5 mètres de long. Le scribe Ahmès y a recopié 84 problèmes : partager des pains entre des ouvriers, calculer l'aire d'un champ, le volume d'un grenier… Il est conservé au British Museum, à Londres. C'est l'un des plus anciens « manuels de maths » connus.

Les tablettes de Babylone et la base 60

En Mésopotamie, les scribes écrivaient en appuyant un roseau taillé dans l'argile fraîche. Ils comptaient par soixantaines : c'est de là que viennent nos 60 minutes dans une heure, nos 60 secondes dans une minute et les 360 degrés d'un tour complet. Des milliers de tablettes de calcul ont été retrouvées : tables de multiplication, problèmes, et même des exercices d'écoliers avec leurs erreurs !

Les pyramides : un chantier géant

La pyramide de Khéops, à Gizeh, est restée le plus haut monument construit par les humains pendant près de 3 800 ans, jusqu'à la cathédrale de Lincoln en Angleterre, vers 1311. Ses bâtisseurs n'étaient pas des esclaves, comme on l'a longtemps cru, mais des ouvriers organisés en équipes, nourris et logés près du chantier : les archéologues ont retrouvé leur village.

Des chiffres romains aux chiffres indo-arabes

Pendant plus de mille ans, l'Europe a écrit les nombres en chiffres romains, et calculé avec des jetons sur une table, l'abaque. Nos chiffres, avec le zéro, viennent de l'Inde et sont arrivés en Europe par les savants arabes, au Moyen Âge. On voit encore des chiffres romains pour les siècles (le XXIe siècle), les rois (Louis XIV), les cadrans d'horloge et les dates gravées sur les monuments.

Pourquoi n'y a-t-il pas d'année 0 ?

Notre façon de compter les années a été inventée vers 525 par un moine, Denys le Petit, qui fixa l'an 1 à la naissance de Jésus-Christ, comme il la calculait. En Europe, à cette époque, on ne connaissait pas encore le zéro : il n'y a donc pas d'année 0. C'est pourquoi les siècles commencent en …01 et que le 21e siècle a commencé le 1er janvier 2001.

Des codes secrets : de César à Alan Turing

Jules César chiffrait ses messages militaires par décalage. Au 9e siècle, à Bagdad, Al-Kindi écrit le premier traité pour casser les codes, grâce aux fréquences des lettres. Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisent la machine Enigma, réputée inviolable : le mathématicien anglais Alan Turing et son équipe, à Bletchley Park, parviennent à la déchiffrer, en s'appuyant sur les travaux de mathématiciens polonais. On estime que cela a raccourci la guerre de plusieurs années.

travel_explore À toi ! Cherche une date en chiffres romains dans ta ville : sur un monument aux morts, le fronton d'une mairie ou d'une école, une vieille maison, le cadran d'une horloge… Note-la, puis traduis-la en chiffres d'aujourd'hui. De quel siècle est-elle ?

history_edu Un peu d'histoire

Pourquoi une année sur quatre a-t-elle 366 jours ? Le problème vient du Soleil : la Terre met environ 365,2422 jours à faire le tour du Soleil -- pas un nombre entier de jours ! Un calendrier avec des années de 365 jours pile prendrait donc du retard sur les saisons, année après année.

En 46 avant J.-C., l'empereur romain Jules César, conseillé par l'astronome Sosigène d'Alexandrie, décide de corriger ce problème : il fixe l'année à 365 jours, avec un jour supplémentaire ajouté tous les 4 ans. C'est la naissance du calendrier julien et de l'année bissextile, avec une durée moyenne de 365,25 jours.

Mais 365,25 jours reste encore un peu trop long par rapport aux 365,2422 jours réels : un écart minuscule (0,0078 jour par an), mais qui s'accumule. Après 1500 ans, ce petit écart représentait déjà 10 jours de décalage avec les saisons !

Frise schématique (les écarts entre les dates ne sont pas à l'échelle).

En 1582, le pape Grégoire XIII corrige le tir : on passe directement du 4 au 15 octobre 1582 (10 jours « effacés » du calendrier !), et on adopte une nouvelle règle, toujours utilisée aujourd'hui : une année est bissextile si elle est divisible par 4, sauf si elle est divisible par 100 -- sauf si elle est aussi divisible par 400. Ainsi, 2000 était bissextile, mais 1900 ne l'était pas. Cette règle donne une année moyenne de 365,2425 jours, si proche de la réalité qu'il faut attendre environ 3 000 ans pour accumuler un seul jour d'écart.

Tous les pays n'ont pas adopté ce nouveau calendrier en même temps : la France en 1582, mais l'Angleterre seulement en 1752 (avec des émeutes, certains croyant qu'on leur volait 11 jours de vie !), et la Russie seulement en 1918. C'est pour cette raison que la « révolution d'Octobre » russe, qui a eu lieu le 25 octobre 1917 selon leur calendrier de l'époque, correspond en réalité au 7 novembre selon le calendrier que nous utilisons aujourd'hui.

Pourquoi 60 minutes dans une heure ? Le mélange de deux civilisations

Le système sexagésimal (en base 60) vient de Mésopotamie : les Sumériens, puis les Babyloniens, comptaient en base 60 dès environ 3000 avant J.-C. -- pas seulement pour le temps, mais pour presque tous leurs calculs. Pourquoi 60, et pas 10 ou 100 ? 60 est le plus petit nombre divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30 : bien plus de diviseurs que 10, ce qui permettait de partager facilement en moitiés, tiers, quarts, cinquièmes... sans jamais tomber sur des fractions compliquées.

Une théorie sur l'origine de la base 60 : 12 phalanges comptées avec le pouce sur une main, × 5 doigts de l'autre main.

Les 24 heures, elles, viennent d'ailleurs : de l'Égypte antique, qui divisait le jour en 12 heures (grâce au Soleil) et la nuit en 12 heures (grâce à des étoiles repères), sans lien avec la base 60 à l'origine.

Les deux traditions se rencontrent grâce aux astronomes grecs, notamment Ptolémée : pour leurs calculs de position des astres, ils reprennent le système sexagésimal babylonien tout en gardant le découpage égyptien du jour en 24 heures. C'est de là que viennent les mots « minute » (du latin pars minuta prima, la « première petite partie » de l'heure) et « seconde » (pars minuta secunda, la « seconde petite partie »). Ce système passe ensuite aux astronomes du monde arabo-musulman, puis à l'Europe médiévale, et se diffuse ainsi largement à travers le monde, porté par l'astronomie et la navigation.

Le système a bien failli disparaître : pendant la Révolution française, en 1793, la France a tenté d'imposer un temps décimal (10 heures par jour, 100 minutes par heure, 100 secondes par minute) -- dans le même esprit que la réforme du mètre. Mais l'usage du système sexagésimal était trop ancré dans les habitudes et les instruments de l'époque : la réforme a été abandonnée après quelques mois seulement.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz