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Fractions : multiplication

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 14 · Multiplier une fraction par un nombre entier · Prendre une fraction d'une quantité · Prendre un pourcentage d'une quantité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Multiplier une fraction par un nombre entier

Règle

Pour multiplier une fraction

\frac{a}{b}

(avec b non nul) par un nombre entier c, on peut, au choix :

Méthode 1
calculer le quotient de a par b, puis multiplier le résultat par c.

Méthode 2
calculer le produit de a par c, puis diviser le résultat par b.

Méthode 3
calculer le quotient de c par b, puis multiplier le résultat par a.

Remarque : quelle que soit la méthode, on divise toujours par le dénominateur de la fraction, et on multiplie par son numérateur.

Exemple : calcule $\frac{3}{4} \times 36$ .

\frac{3}{4} \times 36 = (3 \div 4) \times 36 = 0, 75 \times 36 = 27

Méthode 1 : intéressante quand la fraction est un nombre décimal simple.

\frac{3}{4} \times 36 = \frac{3 \times 36}{4} = \frac{108}{4} = 108 \div 4 = 27

Méthode 2 : elle marche toujours, mais les nombres deviennent grands.

\frac{3}{4} \times 36 = 3 \times (36 \div 4) = 3 \times 9 = 27

Méthode 3 : la plus rapide ici, car 36 ÷ 4 tombe juste.

Attention : le résultat n'est pas toujours un nombre décimal. Par exemple,

\frac{2}{3} \times 5 = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3}

: on garde alors l'écriture fractionnaire.

Prendre une fraction d'une quantité

Règle

Pour calculer une fraction d'une quantité, on multiplie la fraction par cette quantité. « Les trois huitièmes de 240 », c'est

\frac{3}{8} \times 240

Exemple : Léo a lu les trois huitièmes d'un livre de 240 pages. Combien de pages a-t-il lues ?

\frac{3}{8} \times 240 = 3 \times (240 \div 8) = 3 \times 30 = 90

On partage 240 en 8 parts de 30 pages, et on en prend 3 (méthode 3).

Léo a lu 90 pages.On conclut par une phrase.

Prendre un pourcentage d'une quantité

Règle

Pour calculer t % d'une quantité, on la multiplie par

\frac{t}{100}

: « 30 % de 90 », c'est

\frac{30}{100} \times 90

Exemple : calcule 30 % de 90 €.

\frac{30}{100} \times 90 = \frac{30 \times 90}{100} = \frac{2 700}{100} = 27

Méthode 2 : le plus simple ici, car diviser par 100 est facile.

30 % de 90 € valent 27 €.

Remarque :

\frac{30}{100} = 0, 3

, donc on peut aussi calculer 0,3 × 90 = 27.

On peut aussi utiliser une échelle de pourcentage : 90 € partagés en 10 parts de 10 % chacune, soit 9 € par part.

10 % de 90 € correspondent à $\frac{1}{10}$ de 90 €, soit 9 € ; 30 %, c'est 3 fois plus : 27 €.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : voir une fraction d'une quantité avec une barre

\frac{2}{5} \times 35 = 2 \times (35 \div 5) = 2 \times 7 = 14

On partage 35 en 5 parts égales de 7, et on en prend 2.

Méthode 2 : choisir la méthode la plus rapide

\frac{5}{6} \times 42

Quelle méthode choisir ? On regarde si 5 ÷ 6 ou 42 ÷ 6 tombe juste.

Méthode 3 : l'échelle de pourcentage

10 % de 60, c'est

\frac{1}{10}

de 60 : 6. Donc 20 % de 60 = 2 × 6 = 12

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une fraction d'une quantité »

Les trois quarts des 28 élèves de la classe sont demi-pensionnaires.1. On repère la fraction et la quantité.

\frac{3}{4} \times 28 = 3 \times (28 \div 4) = 3 \times 7 = 21

2. On multiplie la fraction par la quantité (méthode 3 : 28 ÷ 4 tombe juste).

21 élèves sont demi-pensionnaires.3. On conclut par une phrase.

Exercices

Exercice 1

Calcule

\frac{2}{5} \times 35

de trois façons différentes.

Exercice 2

Calcule, avec la méthode la plus rapide :

\frac{5}{6} \times 42

\frac{7}{10} \times 23

Exercice 3

Calcule

\frac{4}{3} \times 5

. Le résultat est-il un nombre décimal ?

Exercice 4

Un réservoir de 60 L est rempli aux deux tiers. Combien de litres contient-il ?

Exercice 5

Dans un collège de 540 élèves, les cinq neuvièmes sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?

Exercice 6

Calcule 25 % de 48 et 10 % de 350.

Exercice 7

Un pull coûte 40 €. Pendant les soldes, son prix baisse de 30 %. De combien baisse-t-il ? Quel est son nouveau prix ?

Exercice 8

Emma dit : « Les trois quarts de 20, c'est plus que les deux tiers de 18. » A-t-elle raison ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en cuisine. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et cuisine

La pizza party

Tu organises une pizza party. Chaque invité mange la même part de pizza. Combien de pizzas faut-il commander ? Fais ton estimation, puis clique sur « Servir ! ».

Chacun mange de pizza

Chaque invité mange

\frac{3}{8}

de pizza : les pizzas sont coupées en 8 parts égales, chacun en prend 3.

skillet Maths et cuisine : peser, partager, convertir

Les plus vieilles recettes du monde… babyloniennes

Les plus anciennes recettes écrites que l'on connaisse ont près de 4 000 ans : ce sont des tablettes d'argile de Mésopotamie (l'Irak actuel), conservées à l'université Yale, aux États-Unis. On y lit des recettes de ragoûts. Les Babyloniens étaient aussi de grands calculateurs : ils comptaient en base 60, et c'est d'eux que viennent nos 60 minutes dans une heure… et nos minuteurs de cuisine !

Une livre ici, une autre livre là-bas

Avant la Révolution française, chaque région avait ses unités : la livre, l'once, la pinte… et une livre de Paris ne pesait pas autant qu'une livre de Lyon ! En 1795, le système métrique définit le gramme comme la masse d'un centimètre cube d'eau, et le litre comme le volume d'un décimètre cube. Une même recette peut enfin être refaite partout à l'identique.

« Une pincée », « un verre », « gros comme un œuf »

Pendant longtemps, les livres de cuisine donnaient des quantités approximatives. En 1896, l'Américaine Fannie Farmer publie un livre de recettes à Boston où toutes les mesures sont précises et prises « à ras bord ». On la surnomme « la mère des mesures exactes ». Aujourd'hui encore, les recettes américaines utilisent des tasses (les cups) et des cuillères… et des degrés Fahrenheit.

Fahrenheit, Celsius et le thermostat

L'Allemand Daniel Fahrenheit invente son échelle de température en 1724 : l'eau y gèle à 32 °F et bout à 212 °F. Le Suédois Anders Celsius propose la sienne en 1742… mais à l'envers : 0 pour l'eau qui bout et 100 pour la glace ! L'échelle est retournée peu après sa mort, pour devenir celle que nous utilisons. Sur les fours français, le thermostat donne à peu près la température divisée par 30 : thermostat 6, c'est environ 180 °C.

Le quatre-quarts : une recette en fractions

Le quatre-quarts breton porte son nom de sa recette : quatre ingrédients, chacun un quart de la pâte. Beurre, sucre, farine et œufs ont exactement la même masse. Pas besoin de livre de recettes : il suffit de peser les œufs !

Combien de pizzas différentes ?

Une pizzeria propose 8 garnitures. Pour chacune, on a deux choix : on la met ou non. Il y a donc 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 pizzas différentes (en comptant la pizza nature). Avec 20 garnitures, il y en aurait plus d'un million : à chaque garniture en plus, le nombre de pizzas double !

science À toi ! Fais un quatre-quarts. Pèse 3 œufs dans leur coquille (souvent entre 150 g et 180 g), puis prends la même masse de beurre fondu, de sucre et de farine. Pour un gâteau deux fois plus gros, combien d'œufs faudrait-il ? Et quelle masse de farine ?

history_edu Un peu d'histoire

Le mot « fraction » vient du latin frangere, qui signifie « briser » : une fraction, c'est un morceau d'un tout. Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient surtout des fractions de numérateur 1 (comme un tiers ou un cinquième) : pour écrire deux cinquièmes, ils l'exprimaient comme une somme de fractions de ce type, un tiers plus un quinzième. Le papyrus Rhind (vers 1650 avant J.-C.) contient même une table qui donne ces décompositions pour de nombreuses fractions, un peu comme une table de multiplication. Notre écriture avec une barre horizontale entre deux nombres s'est répandue en Europe au Moyen Âge, venue des mathématiciens arabes.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz