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Angles et rapporteur

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 6 · Notion d'angle · Différents types d'angles · Utilisation du rapporteur · Paire d'angles particuliers · Bissectrice d'un angle saillant

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

1

Notion d'angle

A

Généralités

Définition
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
O x y
B

Nommer un angle

Un angle peut se nommer de différentes manières (le plus souvent avec trois lettres, celle du milieu étant toujours le sommet de l'angle) : par exemple xOy^ ou yOx^.
Remarque : des angles de même mesure sont codés avec le même symbole (comme pour les longueurs).
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Différents types d'angles

On classe les angles par catégories selon leur mesure.

Angle Nul Aigu Droit Obtus Plat Rentrant Plein
Figure
Mesure 0° entre 0° et 90° 90° entre 90° et 180° 180° entre 180° et 360° 360°
3

Utilisation du rapporteur

Définitions
On peut mesurer « l'ouverture » d'un angle. L'unité que l'on utilise au collège est le degré. L'instrument qui permet de mesurer des angles est le rapporteur.
Remarque : un rapporteur gradué en degrés a souvent une double graduation (une qui va de 0 à 180° dans un sens, une autre dans l'autre sens), source de nombreuses erreurs. Il faut bien vérifier si l'angle étudié est aigu ou obtus avant de lire sa mesure.

Méthode : lire une mesure au rapporteur

Pour une lecture extérieure, place le 0° jaune sur un des côtés de l'angle, en veillant à ce que l'autre côté reste dans le rapporteur. Pour une lecture intérieure, c'est le 0° vert qui doit être placé sur un des côtés (l'autre côté reste alors aussi dans le rapporteur) : le résultat de la lecture est le même.

63°
Rapporteur

On souhaite mesurer cet angle. Le rapporteur n'est pas encore placé dessus.

Méthode : construire un angle donné au rapporteur

Rapporteur

On veut construire un angle de 72° à partir de ce côté déjà tracé.

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Paire d'angles particuliers

A

Angles opposés par le sommet

Définition
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont un sommet commun et qui ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre.
M M' N N' O

Les angles MON^ et M′ON′^ ont comme sommet commun le point O et ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre. Ils sont donc opposés par le sommet.

Propriété
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

Dans la figure précédente, les angles MON^ et M′ON′^ sont de même mesure (50°), ainsi que les angles MON′^ et M′ON^ (130°).

B

Angles adjacents

Définition
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun, et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
A B C O

Les angles AOB^ et BOC^ ont comme sommet commun le point O, comme côté commun la demi-droite [OB), et sont placés de part et d'autre de [OB) : ils sont donc adjacents.

C

Angles supplémentaires

Définition
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leur mesure fait 180°.
D F E O

Les angles adjacents DOE^ et EOF^ partagent un angle plat. Leur somme est donc égale à 180° (72° + 108°).

Ils sont donc supplémentaires.

Remarque : deux angles supplémentaires et adjacents forment un angle plat. Cette propriété peut donc être utilisée pour montrer que des points sont alignés.
5

Bissectrice d'un angle saillant

Définition
La bissectrice d'un angle saillant est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

Méthode : construis la bissectrice de l'angle MON^ avec un rapporteur.

108° N M O B
Rapporteur

On veut tracer la bissectrice de l'angle MON.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

M

Méthode 1 : entraîne-toi à lire une mesure au rapporteur

Rapporteur
↻
M

Méthode 2 : entraîne-toi à construire un angle donné

Angle à construire : 85°

Rapporteur
↻
M

Méthode 3 : calculer une mesure grâce aux angles opposés par le sommet

Énoncé : Les droites (RR') et (TT') se coupent en S. On sait que RST^=62°\widehat{RST} = 62°. Calcule la mesure de l'angle R′ST′^\widehat{R'ST'}.

R R' T T' S
Les angles RST^ et R′ST′^ sont opposés par le sommet.
Ce que je sais : on repère deux angles opposés par le sommet.
M

Méthode 4 : justifier un alignement grâce aux angles supplémentaires

Énoncé : Les angles adjacents DOE^\widehat{DOE} et EOF^\widehat{EOF} sont tels que DOE^=72°\widehat{DOE} = 72° et EOF^=108°\widehat{EOF} = 108°. Montre que les points D, O et F sont alignés.

D F E O
Les angles adjacents DOE^ et EOF^ sont tels que DOE^=72° et EOF^=108°.
Ce que je sais.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Utiliser les angles opposés par le sommet »

Les angles RST^ et R′ST′^ sont opposés par le sommet.Ce que je sais.
Or, deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.On énonce la propriété.
Donc, comme RST^=62°, on a R′ST′^=62°.Conclusion.

Exercices

Exercice 1
Trace un angle xOy^ de 128° avec un rapporteur.
Exercice 2
Deux droites sécantes en O forment quatre angles. L'un d'eux mesure 38°. Donne les mesures des trois autres.
Exercice 3
Les angles adjacents DOE^ et EOF^ forment un angle plat. Sachant que DOE^=95°, calcule la mesure de EOF^. Rédige ta réponse.
Exercice 4
Construis un angle de 75°, puis trace sa bissectrice à l'aide d'un rapporteur.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise dans la nature. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et nature

N

Le tournesol et l'angle d'or

Un tournesol fabrique ses graines une à une, au centre : chaque nouvelle graine tourne d'un même angle par rapport à la précédente, puis toutes s'écartent un peu. Quel angle la nature a-t-elle choisi ?
angle entre deux graines : 90°
Clique sur un angle : les graines poussent une à une. Commence par 90°.
eco Maths et nature : les formes du vivant

Les lapins de Fibonacci et les spirales des fleurs

En 1202, l'Italien Fibonacci pose un petit problème : un couple de lapins donne naissance chaque mois à un nouveau couple, qui se reproduit à son tour dès son deuxième mois. Combien de couples au bout d'un an ? Les nombres de couples forment la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… : chaque nombre est la somme des deux précédents. Surprise : on retrouve ces nombres partout dans les plantes. Sur une pomme de pin, on compte souvent 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre ; sur un tournesol, 34 et 55. C'est la conséquence de l'angle d'or (environ 137,5°) entre deux graines successives.

Kepler et le flocon à six branches (1611)

Pour le Nouvel An 1611, l'astronome Johannes Kepler offre à un ami un petit livre : L'étrenne, ou la neige à six angles. Il s'y demande pourquoi tous les flocons de neige ont six branches. Il faudra attendre le 20e siècle et l'étude des cristaux pour le comprendre : les molécules d'eau de la glace s'assemblent en hexagones. Chaque flocon a ainsi 6 axes de symétrie… et pourtant, comme l'a montré l'Américain Wilson Bentley, qui en a photographié plus de 5 000 à partir de 1885, deux flocons ne sont jamais tout à fait identiques.

Les abeilles, championnes de géométrie

Pourquoi les alvéoles des ruches sont-elles des hexagones ? Le savant grec Pappus d'Alexandrie, au 4e siècle, parlait déjà de la « sagacité des abeilles » : avec des hexagones, on pave tout le plan sans laisser de trou, en utilisant le moins de cire possible pour une même surface. Ce n'est qu'en 1999 que le mathématicien américain Thomas Hales a démontré que l'hexagone est vraiment la meilleure solution.

Compter les poissons sans les pêcher tous

Vers 1890, le biologiste danois Carl Petersen marque des poissons (des plies) pour étudier leurs déplacements, et comprend qu'il peut aussi estimer leur nombre par proportionnalité : c'est la méthode de capture-recapture. Un siècle plus tôt, Laplace avait déjà utilisé une idée semblable pour estimer la population de la France à partir des naissances. Aujourd'hui, on compte ainsi les oiseaux, les papillons, les loups… ou les ours, grâce à des poils laissés sur des barbelés.

Les fractales : le chou romanesco et la fougère

Regarde un chou romanesco : chaque petite pointe est une copie réduite du chou entier, elle-même faite de pointes encore plus petites. Une feuille de fougère aussi est faite de petites feuilles qui lui ressemblent. En 1975, le mathématicien Benoît Mandelbrot appelle ces formes des fractales. Il pose une question étonnante : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? Plus on la mesure finement, en suivant chaque rocher, plus elle est longue !

science À toi ! Ramasse une pomme de pin (ou regarde le cœur d'un tournesol, d'une marguerite, d'un ananas). Avec un feutre, suis une spirale de la base jusqu'au sommet, puis compte combien il y en a qui tournent dans ce sens. Compte ensuite celles qui tournent dans l'autre sens. Trouves-tu deux nombres de Fibonacci, comme 8 et 13 ?

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire
Pourquoi un cercle complet mesure-t-il 360° et pas 100°, comme le reste de nos unités ? La réponse vient des astronomes babyloniens, en Mésopotamie, il y a environ 3 500 ans : ils comptaient en base 60 (au lieu de notre base 10), et 360 est un nombre qui se divise très facilement par beaucoup d'autres (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...), en plus d'être proche du nombre de jours dans une année. Le rapporteur lui-même, tel qu'on le connaît, est un instrument bien plus récent : le premier outil vraiment dédié à tracer et mesurer des angles est décrit en 1589 par l'Anglais Thomas Blundeville, dans un ouvrage destiné à la navigation en mer.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz