Aire et périmètre
Grandeurs et mesures Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 16 · Périmètre et aire d'une figure · Périmètres et longueurs de figures usuelles · Aires de figures usuelles · Unités d'aire
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Périmètre et aire d'une figure
- Le périmètre d'une figure est la mesure de la longueur de son contour, exprimée dans une unité de longueur donnée.
- L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, exprimée dans une unité d'aire donnée.
Exemple :
- Le périmètre de la figure orange est de 16 unités de longueur (celle du quadrillage).
- Son aire est de 12 carreaux (celle du quadrillage).
Remarque : l'aire d'une figure dépend de l'unité d'aire choisie. Il faut donc toujours préciser celle qui est utilisée.
Périmètres et longueurs de figures usuelles
Périmètre
Périmètre
Longueur
Exemple :
Quelle est la longueur d'un cercle de rayon 5 cm ?
La longueur d'un cercle de rayon 5 cm est cm, soit environ 31,42 cm. On peut aussi la calculer avec le diamètre : cm, donc Longueur cm, on retrouve bien le même résultat.
Aires de figures usuelles
Aire
Aire
Exemple : quelles sont les aires du rectangle et du carré ci-dessous ?
Un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm, un carré de côté 5 cm.
- Aire du rectangle
- Aire du carré
Unités d'aire
Le mètre carré et ses sous-multiples
- Un centimètre carré (cm²) est l'aire d'un carré d'un centimètre de côté.
- Un millimètre carré (mm²) est l'aire d'un carré d'un millimètre de côté.
Dans 1 cm², il y a 100 mm².
Conversions
| 1 m² = 100 dm² | |
| 1 dm² = 100 cm² |
Exemple 1 : convertis 6,2 dm² en cm² et 350 dm² en m².
- La mesure exprimée en cm² est cent fois plus grande que la mesure exprimée en dm². La mesure exprimée en m² est cent fois plus petite que la mesure exprimée en dm².
- Donc et .
Exemple 2 : convertis 0,527 dm² en cm² et 8,3 cm² en dm².
- et .
Remarques :
- Pour passer d'une unité d'aire à l'unité immédiatement inférieure, on multiplie par 100.
- Pour passer d'une unité d'aire à l'unité immédiatement supérieure, on divise par 100.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
Utiliser un tableau de conversion des aires
- L'are (noté a) est une autre écriture du dam² : c'est l'aire d'un carré de 10 m de côté, soit 100 m².
- L'hectare (noté ha) est une autre écriture du hm² : c'est l'aire d'un carré de 100 m de côté, soit 100 a, soit 10 000 m².
Comme chaque unité d'aire vaut 100 fois la suivante, chaque colonne du tableau de conversion occupe deux cases (au lieu d'une seule pour les longueurs).
| km² | hm² (ha) |
dam² (a) |
m² | dm² | cm² | mm² | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Calculer le périmètre d'un rectangle »
Rédaction type : « Convertir une aire »
Donc ... dm² = ... cm².
Exercices
public Maths & la vie
Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.
Maths et sport
La piste d'athlétisme
Le stade : une unité de longueur devenue un lieu
Aux premiers Jeux olympiques connus, en 776 av. J.-C. à Olympie, il n'y avait qu'une épreuve : la course du stade. Le stade était d'abord une unité de longueur (environ 192 m à Olympie, soit 600 « pieds ») ; c'est ensuite le nom du terrain où l'on courait cette distance qui est resté. Quand tu vas au stade, tu vas donc… dans une unité de mesure !
42,195 km : le marathon le plus précis du monde
Le premier marathon olympique, à Athènes en 1896, mesurait environ 40 km, en souvenir du messager grec qui aurait couru de Marathon à Athènes. Aux Jeux de Londres, en 1908, le parcours part du château de Windsor et s'arrête devant la loge royale du stade : il mesure 42,195 km. Cette longueur est devenue la distance officielle en 1921.
Des secondes aux millièmes de seconde
Aux premiers Jeux modernes, on chronométrait à la main, au cinquième de seconde. Aujourd'hui, le chronométrage électronique et la photo-finish mesurent les temps au centième de seconde, et peuvent départager deux athlètes au millième. Un centième de seconde au 100 m, à la vitesse d'Usain Bolt (environ 10 mètres par seconde), c'est à peine 10 cm : la longueur d'une main !
La piste de 400 m et ses départs décalés
Sur une piste d'athlétisme, les deux virages forment un cercle. Dans le couloir extérieur, le rayon est plus grand, donc le cercle est plus long : 2 × π × r. Pour que tous les coureurs du 400 m parcourent la même distance, on décale les départs d'environ 7 m d'un couloir au suivant. C'est la méthode « La piste d'athlétisme ».
Un ballon d'Archimède
Le ballon de la Coupe du monde 1970, le célèbre Telstar, était cousu de 12 pentagones noirs et de 20 hexagones blancs : c'est un icosaèdre tronqué, l'un des solides décrits par Archimède il y a plus de 2 000 ans, « gonflé » pour devenir presque une sphère. Compte bien : 12 + 20 = 32 faces.
Quand les statistiques choisissent les joueurs
Au début des années 2000, l'équipe de baseball des Oakland Athletics, aux États-Unis, n'a pas d'argent pour acheter des stars. Son directeur, Billy Beane, recrute alors des joueurs grâce aux statistiques : moyennes, pourcentages de réussite… et son équipe enchaîne les victoires (l'histoire a été racontée dans le film Le Stratège). Aujourd'hui, tous les grands clubs de football ou de basket ont des analystes de données.
Le saut qui a défié les calculs
Aux Jeux de Mexico, en 1968, l'Américain Bob Beamon saute 8,90 m en longueur : il améliore le record du monde de 55 cm d'un coup ! Les juges ont même dû mesurer à la main, l'appareil optique n'allant pas assez loin. Son record a tenu près de 23 ans, jusqu'aux 8,95 m de Mike Powell en 1991, toujours record du monde.
history_edu Un peu d'histoire
Avant la Révolution française, mesurer un terrain était un vrai casse-tête. L'unité la plus courante, l'arpent, changeait de valeur selon l'endroit : un arpent de Paris valait environ 34 ares, un « arpent commun » environ 42 ares, et un arpent « royal » (celui des eaux et forêts) environ 51 ares. Ailleurs en France, selon les provinces, un arpent pouvait valoir de 32 à 78 ares (plus du double d'un bout à l'autre du pays, sous le même nom !) Il existait aussi le journal, la surface qu'un homme pouvait labourer en une seule journée, qui variait elle aussi selon la qualité du sol.
Carrés proportionnels à l'aire : « un arpent » ne représentait pas du tout la même surface partout.
Ce chaos posait de vrais problèmes : acheter, vendre ou faire payer l'impôt sur un terrain devenait injuste dès qu'on changeait de région, puisque le même mot ne représentait pas la même surface. C'est pour y mettre fin qu'en 1795, en même temps que le mètre (voir l'histoire du chapitre sur les triangles), les révolutionnaires créent l'are : une unité d'aire unique, valable partout en France, qui ne dépend d'aucune coutume locale. L'hectare (100 a) suit naturellement pour les grandes surfaces comme les fermes.
Le changement n'a pourtant pas été immédiat : malgré la loi de 1795, les anciennes unités sont restées si ancrées dans les habitudes qu'il a fallu attendre une loi de 1837 pour rendre le système métrique obligatoire partout en France, à partir du 1er janvier 1840 (45 ans plus tard !) Dans certaines campagnes, arpents et journaux ont continué à être utilisés dans les conversations bien après cette date.
La quadrature du cercle : un problème vieux de plus de deux-mille ans
Il existe un problème inverse à celui du cercle : peut-on construire, seulement à la règle et au compas, un carré ayant exactement la même aire qu'un cercle donné ? Ce défi, appelé la quadrature du cercle, est très ancien : dès environ 1650 avant J.-C., un scribe égyptien propose déjà, dans un texte connu aujourd'hui sous le nom de papyrus Rhind, un carré censé avoir la même aire qu'un cercle donné, une approximation, pas une solution exacte.
Vers 430 avant J.-C., le philosophe grec Anaxagore aurait réfléchi à ce problème alors qu'il était emprisonné à Athènes. Peu après, le géomètre Hippocrate de Chios parvient à un résultat remarquable : il réussit à construire un carré ayant exactement la même aire que certaines figures en forme de croissant, appelées lunules, délimitées par des arcs de cercle. Sa méthode ne permet pas de « carrer » le cercle entier, mais elle donne longtemps espoir aux mathématiciens qu'une solution existe.
La lunule d'Hippocrate : sur un triangle rectangle en C, l'aire des deux croissants (orange et bleu clair) est exactement égale à l'aire du triangle ABC.
Pendant plus de deux-mille ans, d'innombrables mathématiciens et amateurs ont proposé des « solutions » à la quadrature du cercle, au point qu'en 1775, l'Académie des sciences de Paris, lassée de recevoir des preuves toujours fausses, décide de ne plus en examiner aucune.
La réponse définitive n'arrive qu'en 1882 : le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre que le nombre π est un nombre transcendant (il n'est solution d'aucune équation à coefficients entiers), ce qui prouve que la quadrature du cercle est en réalité impossible à réaliser à la règle et au compas. L'expression « chercher la quadrature du cercle » est restée dans le langage courant pour désigner une tâche impossible.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz