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Représentation de l'espace

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 17 · Deux familles de solides : prismes droits et cylindres · Fabriquer un solide : les patrons · Calculer un volume

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Deux familles de solides : prismes droits et cylindres

Définition 1

Un prisme droit est un solide dont :

les deux bases sont des polygones superposables, situés dans des plans parallèles ;
les faces latérales sont des rectangles.

Définition 2

Un cylindre de révolution est un solide dont :

les deux bases sont des disques superposables, situés dans des plans parallèles ;
la surface latérale est un rectangle enroulé autour des bases.

Exemple 1 : un prisme droit à base triangulaire

Ses bases sont des triangles ; il a 3 faces latérales (des rectangles de même hauteur : la hauteur du prisme).
Il a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets. Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Exemple 2 : un cylindre de révolution

Ses bases sont des disques de même rayon r.
La droite qui passe par les centres des deux bases est l'axe du cylindre ; la distance entre ces centres est sa hauteur.

Le nombre de faces latérales d'un prisme droit est égal au nombre de côtés du polygone de base :

Base	triangle	quadrilatère	pentagone	hexagone	n côtés
Faces latérales	3	4	5	6	n
Faces	5	6	7	8	n + 2
Arêtes	9	12	15	18	3 × n
Sommets	6	8	10	12	2 × n

Remarques : un pavé droit (et donc un cube) est un prisme droit particulier : ses bases sont des rectangles. Un cylindre n'est pas un prisme : ses bases ne sont pas des polygones.

Fabriquer un solide : les patrons

Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage (ou enroulement), permet de fabriquer ce solide sans superposition.

Patron d'un prisme droit

Prisme droit dont la base est un triangle équilatéral de côté 3 cm, et de hauteur 4 cm : deux triangles (les bases) et trois rectangles de 3 cm sur 4 cm (les faces latérales), placés côte à côte.

Patron d'un cylindre de révolution

Cylindre de rayon 1,5 cm et de hauteur 4 cm : deux disques de rayon 1,5 cm et un rectangle qui a pour largeur la hauteur (4 cm) et pour longueur le périmètre du disque de base : 2 × π × 1,5 ≈ 9,42 cm.

Calculer un volume

Cube

Volume =

c \times c \times c = c^{3}

Pavé droit

Volume =

L \times ℓ \times h

Prisme droit

Volume =

A_{base} \times h

Cylindre

Volume =

π \times r^{2} \times h

Formule

Pour calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution, on multiplie l'aire d'une base par la hauteur :

V = A_{base} \times h

Exemple 1 : le volume d'un cube d'arête 5 cm.

V = c^{3} = 5^{3} = 125

cm³c × c × c.

Exemple 2 : le volume d'un pavé droit de 8 cm sur 5 cm sur 2,5 cm.

V = 8 \times 5 \times 2, 5 = 100

cm³L × ℓ × h.

Exemple 3 : une tente a la forme d'un prisme droit de longueur 3 m ; sa base est un triangle de base 2 m et de hauteur 1,5 m. Quel est son volume ?

A_{base} = \frac{2 \times 1, 5}{2} = 1, 5

m²On calcule l'aire d'une base (un triangle).

V = 1, 5 \times 3 = 4, 5

m³On multiplie par la hauteur du prisme (la longueur de la tente).

Exemple 4 : un bocal cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Quelle est sa contenance ?

A_{base} = π \times 4^{2} = 16 π

cm²Aire d'une base : un disque de rayon 4 cm.

V = 16 π \times 10 = 160 π \approx 502, 65

cm³On multiplie par la hauteur.

502,65 cm³ ≈ 503 mL, soit environ 50 cL.Car 1 cm³ = 1 mL (et 1 dm³ = 1 L).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : observer un solide sous tous les angles

Bases : 2 polygones à 3 côtés · faces latérales : 3 · faces : 5 · arêtes : 9 · sommets : 6

Méthode 2 : plier le patron d'un prisme droit

à platplié

Méthode 3 : enrouler le patron d'un cylindre

La longueur du rectangle est égale au périmètre des disques : 2 × π × r.

à platenroulé

Méthode 4 : calculer le volume d'un prisme droit

V = A_{base} \times h

On écrit la formule du volume d'un prisme droit.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la contenance d'un cylindre »

A_{base} = π \times 5^{2} = 25 π

cm²1. Aire d'une base (disque de rayon 5 cm).

V = 25 π \times 20 = 500 π \approx 1 570, 80

cm³2. On multiplie par la hauteur (20 cm).

1 570,80 cm³ ≈ 1,57 L3. 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L.

Exercices

Exercice 1

Un prisme droit a pour bases des pentagones. Combien a-t-il de faces latérales ? de faces ? d'arêtes ? de sommets ?

Exercice 2

Un cube est-il un prisme droit ? Et un cylindre ? Justifie.

Exercice 3

On veut construire le patron d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?

Exercice 4

Calcule le volume d'un cube d'arête 4 cm, puis celui d'un pavé droit de 12 cm sur 5 cm sur 3 cm.

Exercice 5

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Sa hauteur est 10 cm. Calcule son volume.

Exercice 6

Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 20 cm. Calcule son volume, puis sa contenance en litres.

Exercice 7

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 60 cm sur 30 cm sur 40 cm. Combien de litres d'eau peut-il contenir ?

Exercice 8

Deux prismes droits ont des bases de même aire, 15 cm². Le premier a une hauteur de 4 cm, le second de 8 cm. Compare leurs volumes.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en peinture. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et arts

Trouve le point de fuite d'un tableau

La salle (à la manière de La Cène, Léonard de Vinci, 1498)

À ton avis, où se rejoignent les lignes du plafond, des murs et du sol ? Clique à l'endroit où tu penses que se trouve le point de fuite.

Dessiner en perspective

Fais glisser le point de fuite F (ou clique ailleurs) : tout le dessin change. Dans la réalité, les arêtes qui s'enfoncent sont parallèles ; sur le dessin, elles se rejoignent en F, sur la ligne d'horizon.
emoji_events Défi 1 / 4 : Place le point de fuite pour voir le dessus des trois solides.

palette Maths et arts : la perspective, une invention de peintres-géomètres

Avant la Renaissance, les peintres ne cherchent pas à imiter ce que voit l'œil : au Moyen Âge, un personnage est souvent dessiné d'autant plus grand qu'il est important. Vers 1300, le Florentin Giotto donne de la profondeur à ses scènes, mais « à l'œil », sans règle : ses lignes fuyantes ne se rejoignent pas en un seul point.

Brunelleschi et l'expérience du miroir (Florence, vers 1415)

L'architecte Filippo Brunelleschi peint le baptistère de Florence sur un petit panneau, en suivant des règles géométriques. Il perce un trou au point de fuite et demande au spectateur de regarder, par l'arrière du panneau, le reflet de la peinture dans un miroir. En retirant le miroir, on voit le vrai baptistère : la peinture et le monument se superposent exactement. La perspective vient de naître !

Alberti : le tableau est une fenêtre (1435)

Dans son livre De pictura (« De la peinture »), Leon Battista Alberti écrit la première méthode : le tableau est « une fenêtre ouverte » à travers laquelle on regarde la scène. Il explique comment dessiner un carrelage : ligne de terre, point de fuite, puis une diagonale pour placer les rangées. Cette construction repose sur une propriété des triangles que tu étudieras en 3e : le théorème de Thalès.

Piero della Francesca, peintre et mathématicien

Piero della Francesca (vers 1412-1492) est à la fois un grand peintre et un mathématicien : il écrit un traité de perspective pour les peintres (De prospectiva pingendi), mais aussi des livres de calcul et un traité sur les polyèdres réguliers. Ses tableaux sont construits comme des figures de géométrie. Au même moment, à Urbino, un peintre resté inconnu peint La Cité idéale : une place parfaite, toute en fuyantes, dont le point de fuite est la porte d'un temple rond.

Léonard de Vinci et La Cène (Milan, 1495-1498)

Dans La Cène, toutes les lignes du plafond, des murs et des tapisseries conduisent le regard vers la tête du Christ, au centre. Les restaurateurs ont même retrouvé, dans l'enduit, à cet endroit, la trace d'un clou : Léonard y avait sans doute attaché des fils tendus pour tracer ses fuyantes, exactement comme on le fait dans la méthode « Trouve le point de fuite ».

Dürer et ses machines à dessiner (1525)

Le peintre allemand Albrecht Dürer publie en 1525 un livre de géométrie pour les artistes. Une de ses gravures montre deux hommes dessinant un luth (encore la musique !) : un fil part d'un clou planté au mur, qui joue le rôle de l'œil, et va toucher un point du luth. On note l'endroit où le fil traverse un cadre ; point après point, le dessin en perspective apparaît sur le cadre. C'est exactement une projection : chaque point de l'objet est relié à l'œil.

Des peintres aux mathématiciens… et aux jeux vidéo

Au 17e siècle, le Lyonnais Girard Desargues fait de la perspective une branche des mathématiques : pour lui, des droites parallèles se rejoignent en un point à l'infini, comme les fuyantes au point de fuite. Au 19e siècle, Jean-Victor Poncelet en fait la géométrie projective. Aujourd'hui, chaque image d'un jeu vidéo en 3D est calculée de la même façon : pour dessiner un objet, l'ordinateur divise ses dimensions par sa distance à la caméra. Plus loin, plus petit… comme chez Alberti.

science À toi ! Colle une feuille de calque ou de plastique transparent sur une vitre qui donne sur une rue ou un couloir. Ferme un œil, garde la tête immobile, et décalque au feutre les bords des trottoirs, des toits, des fenêtres. Prolonge ensuite tes traits à la règle : où se rejoignent-ils ? Tu viens de refaire l'expérience des peintres de la Renaissance.

history_edu Un peu d'histoire

Le savant grec Archimède (3e siècle av. J.-C.) était si fier d'avoir démontré que le volume d'une boule vaut exactement les deux tiers de celui du cylindre dans lequel elle s'emboîte qu'il avait demandé que ce dessin soit gravé sur sa tombe. Plus d'un siècle plus tard, l'orateur romain Cicéron raconte avoir retrouvé cette tombe, envahie par les ronces, grâce à la sphère et au cylindre sculptés dessus. Quant à la perspective cavalière, utilisée pour dessiner les solides au collège, elle doit son nom au « cavalier », une butte de terre des fortifications d'où l'on voyait le terrain de haut et de biais.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz