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Pourcentages

Proportionnalité et fonctions Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 13 · Prendre un pourcentage d'une quantité · Exprimer une proportion en pourcentage

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Prendre un pourcentage d'une quantité

Règle

Prendre t % d'un nombre, c'est le multiplier par

\frac{t}{100}

« 30 % » signifie « 30 pour cent » : 30 parts sur 100. Sur la grille de 100 cases, 30 cases sont coloriées.

Exemple 1 : calculer 30 % de 260.

260 \times \frac{30}{100}

On multiplie 260 par 30/100.

= 260 × 0,330/100 = 0,3.

= 7830 % de 260, c'est 78.

Exemple 2 : pendant les soldes, un pull à 45 € est réduit de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

45 \times \frac{20}{100} = 45 \times 0, 2 = 9

On calcule le montant de la réduction : 20 % de 45 €.

45 − 9 = 36On retire la réduction au prix de départ.

Le pull coûte 36 € pendant les soldes.On conclut par une phrase.

À connaître

Certains pourcentages se calculent de tête :

Pourcentage	50 %	25 %	75 %	10 %	1 %
Fraction	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$
On prend…	la moitié	le quart	les trois quarts	le dixième	le centième

Exemple :

25 % de 64, c'est le quart de 64 : 64 ÷ 4 = 16.

Exprimer une proportion en pourcentage

Règle

Déterminer un pourcentage, c'est écrire une proportion sous la forme d'une fraction de dénominateur 100 :

pourcentage = \frac{partie}{total} \times 100

Exemple 1 : dans un club de 250 adhérents, 90 sont mineurs. Quel pourcentage des adhérents est mineur ?

\frac{90}{250} = 0, 36

On écrit la proportion (partie sur total), puis on divise.

0, 36 = \frac{36}{100} = 36 %

On l'écrit avec le dénominateur 100.

36 % des adhérents sont mineurs.On conclut par une phrase.

Exemple 2 : avec un tableau de proportionnalité.

Le pourcentage est l'effectif qu'on aurait si le total était 100 :

Adhérents mineurs	90	?
Total des adhérents	250	100

Le coefficient pour passer de 250 à 100 est 100 ÷ 250 = 0,4, donc ? = 90 × 0,4 = 36 : on retrouve 36 %.

Exemple 3 : Nina a réussi 12 exercices sur 20.

\frac{12}{20} = \frac{12 \times 5}{20 \times 5} = \frac{60}{100}

Ici, on obtient directement le dénominateur 100 en multipliant par 5.

Nina a réussi 60 % des exercices.

Remarque : un pourcentage d'une partie est toujours compris entre 0 % (personne) et 100 % (tout le monde).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer un pourcentage d'un nombre

15 %

15 % de 80 = 80 \times \frac{15}{100} = 12

Méthode 2 : déterminer un pourcentage

\frac{21}{28} \times 100 = 75 %

Méthode 3 : calculer de tête à partir de 10 %

10 % de 340 = 34

10 %, c'est le dixième : on divise par 10.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Déterminer un pourcentage »

Dans une classe de 25 élèves, 9 portent des lunettes.1. On repère la partie et le total.

\frac{9}{25} = \frac{9 \times 4}{25 \times 4} = \frac{36}{100}

2. On écrit la proportion avec le dénominateur 100.

36 % des élèves portent des lunettes.3. On conclut par une phrase.

Exercices

Exercice 1

Calcule : a) 20 % de 150 ; b) 75 % de 48 ; c) 12 % de 250.

Exercice 2

Calcule de tête : 50 % de 86 ; 25 % de 120 ; 10 % de 4 500 ; 1 % de 700.

Exercice 3

Un vélo coûte 240 €. Pendant les soldes, son prix baisse de 15 %. Calcule le montant de la réduction, puis le nouveau prix.

Exercice 4

Dans un sachet de 400 g de céréales, il y a 60 g de sucre. Quel est le pourcentage de sucre ?

Exercice 5

Un collège compte 640 élèves, dont 45 % sont demi-pensionnaires. Combien d'élèves sont demi-pensionnaires ? Combien ne le sont pas ?

Exercice 6

Lors d'un match, une basketteuse a réussi 14 tirs sur 20. Quel est son pourcentage de réussite ?

Exercice 7

Complète le tableau de proportionnalité pour trouver quel pourcentage représentent 27 filles sur 60 élèves.

Exercice 8

Tom affirme : « 10 % de 80, c'est la même chose que 80 % de 10 ». A-t-il raison ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise avec l'argent. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et argent

Les soldes

C'est les soldes ! Choisis le prix d'un article et le pourcentage de réduction.

80 €−20 %64 €

Réduction : 20 % de 80 €, c'est 80 × 20 ÷ 100 = 16 €.

Prix soldé : 80 − 16 = 64 €.

quiz Le piège des démarques

Un magasin affiche « −20 % », puis une semaine plus tard « −30 % supplémentaires sur le prix déjà soldé ». Au total, est-ce une réduction de 50 % ?

payments Maths et argent : compter, échanger, prêter

Les premiers comptes, avant l'écriture

Il y a plus de 5 000 ans, en Mésopotamie (l'Irak actuel), les marchands et les temples comptent les moutons, les sacs de grain et les jarres d'huile avec de petits jetons d'argile. Pour qu'on ne puisse pas tricher, on les enferme dans une boule d'argile, sur laquelle on imprime leur forme. Puis on se contente des empreintes, sur une tablette : c'est l'un des débuts de l'écriture… et des nombres écrits. Écrire, ce fut d'abord tenir des comptes !

Fibonacci apprend aux marchands à calculer (1202)

En Europe, on calcule encore avec des chiffres romains et des jetons posés sur une table à compter, l'abaque. Fils d'un marchand de Pise, Fibonacci a appris en Afrique du Nord les chiffres indiens transmis par les savants arabes : 0, 1, 2… 9. Dans son Livre du calcul (1202), il montre aux commerçants comment s'en servir pour changer des monnaies, partager des bénéfices ou calculer des intérêts. En quelques siècles, ces chiffres remplacent les chiffres romains.

Les signes + et −, le symbole %

Les signes + et − apparaissent pour la première fois dans un livre imprimé en 1489, un manuel de calcul pour les marchands écrit par l'Allemand Johannes Widmann : ils y indiquent un surplus ou un manque dans une caisse de marchandises. Le symbole % vient des marchands italiens : ils écrivaient « per cento » (pour cent), abrégé en « p cento », puis en un petit signe qui est devenu notre %.

Les banquiers italiens et la règle de 72

Au 15e siècle, les grandes familles de banquiers de Florence et de Venise prêtent de l'argent dans toute l'Europe. En 1494, le moine mathématicien Luca Pacioli publie un énorme traité où il explique la comptabilité en « partie double » (encore utilisée aujourd'hui) et une astuce : pour savoir en combien d'années un placement double, on divise 72 par le taux d'intérêt. C'est la règle de 72 !

Une monnaie décimale : le franc, puis l'euro

Sous l'Ancien Régime, une livre valait 20 sous et un sou 12 deniers : bon courage pour rendre la monnaie ! En 1795, en même temps que le mètre et le kilogramme, la Révolution crée le franc : 1 franc = 10 décimes = 100 centimes. C'est l'une des premières monnaies décimales, et c'est pourquoi on écrit les prix avec une virgule et deux chiffres après. Le Royaume-Uni n'a adopté la monnaie décimale qu'en 1971 ! Depuis 2002, nous payons en euros : 1 euro = 100 centimes.

shopping_cart À toi ! Au supermarché, regarde les petites étiquettes sous les prix : elles indiquent le prix au kilogramme (ou au litre). Choisis un produit vendu en deux tailles de paquet, et cherche lequel est vraiment le moins cher. Le plus gros paquet gagne-t-il toujours ?

history_edu Un peu d'histoire

Calculer « sur cent » est une vieille habitude : l'empereur romain Auguste avait créé une taxe, la centesima rerum venalium, qui prélevait un centième du prix des marchandises vendues aux enchères, soit 1 %. Au Moyen Âge, les marchands et banquiers italiens calculaient leurs intérêts « per cento », c'est-à-dire « pour cent ». À force d'être abrégé à la main (« p cento », « p c° »…), ce mot se serait peu à peu transformé en un petit signe : notre symbole %, qui garde la trace du « 0 » et du « c » de cento.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz