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Données et probabilités Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 6 · La moyenne pondérée · La médiane

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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La moyenne pondérée

Définition

On considère une série statistique donnée par un tableau des effectifs :

Valeur du caractère	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	…	$x_{p}$
Effectif	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	…	$n_{p}$

L'effectif total est :

N = n_{1} + n_{2} + n_{3} + \dots + n_{p}

La moyenne de la série est :

M = \frac{n_{1} \times x_{1} + n_{2} \times x_{2} + \dots + n_{p} \times x_{p}}{N}

On dit que c'est une moyenne pondérée : chaque valeur « pèse » autant de fois que son effectif.

Exemple : on a demandé aux 24 élèves de la 4e A combien de livres ils ont lus pendant l'été. Voici leurs réponses :

314205231624251302415243

La population étudiée est constituée des élèves de 4e A.
Le caractère étudié est le nombre de livres lus : c'est un caractère quantitatif (ses valeurs sont des nombres).
L'effectif total est 24.

On regroupe les réponses dans un tableau des effectifs, puis on calcule la moyenne pondérée :

Nombre de livres	0	1	2	3	4	5	6
Effectif	2	4	6	4	4	3	1

M = \frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 6 \times 2 + 4 \times 3 + 4 \times 4 + 3 \times 5 + 1 \times 6}{24}

Chaque valeur est multipliée par son effectif.

M = \frac{0 + 4 + 12 + 12 + 16 + 15 + 6}{24}

On effectue les produits.

M = \frac{65}{24}

On divise par l'effectif total, puis on arrondit au dixième.

M \approx 2, 7

En moyenne, un élève de la 4e A a lu environ 2,7 livres pendant l'été.On conclut par une phrase.

Autre exemple : une moyenne de notes avec des coefficients.

Nina a eu 16 (coefficient 3), 10 (coefficient 1) et 13 (coefficient 2).Les coefficients jouent le rôle des effectifs.

M = \frac{3 \times 16 + 1 \times 10 + 2 \times 13}{3 + 1 + 2}

On divise par la somme des coefficients.

M = \frac{48 + 10 + 26}{6}

M = \frac{84}{6}

M = 14

La moyenne de Nina est 14, alors que la moyenne « simple » des trois notes serait 13.La note de coefficient 3 compte trois fois.

La médiane

Définition

La médiane d'une série statistique dont les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant est un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Comment la trouver

Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur centrale : la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ .
Si l'effectif total N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : celles de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .

Exemple 1 (effectif impair) : les temps, en secondes, de 9 nageurs au 50 m nage libre.

384135443936474042

35 ; 36 ; 38 ; 39 ; 40 ; 41 ; 42 ; 44 ; 47On range les valeurs dans l'ordre croissant.

L'effectif total est 9 (impair) : la médiane est la 5e valeur.(9 + 1) ÷ 2 = 5 : il y a 4 valeurs avant et 4 valeurs après.

La médiane de la série est 40 s.Au moins la moitié des nageurs ont mis 40 s ou moins.

Exemple 2 (effectif pair) : on reprend les livres lus par les 24 élèves de la 4e A.

les 12 plus petites valeurs (1re à 12e)

001111222222

les 12 plus grandes valeurs (13e à 24e)

333344445556

L'effectif total est 24 (pair) : les valeurs centrales sont la 12e et la 13e.24 ÷ 2 = 12 : on prend la 12e et la 13e valeur de la série rangée.

12e valeur : 2 ; 13e valeur : 3. Médiane = (2 + 3) ÷ 2 = 2,5.Le tableau des effectifs aide à compter : 2 + 4 + 6 = 12 élèves ont lu 2 livres ou moins.

La médiane de la série est 2,5 livres : la moitié des élèves ont lu 2 livres ou moins, l'autre moitié 3 livres ou plus.On conclut par une phrase.

Remarques : la médiane n'est pas toujours une valeur de la série (ici 2,5). Elle est peu sensible aux valeurs extrêmes : si le nageur le plus lent avait mis 80 s au lieu de 47 s, la médiane serait toujours 40 s, alors que la moyenne passerait d'environ 40,2 s à environ 43,9 s.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau

Pointure	36	37	38	39	40	41
Effectif	3	5	8	7	4	3

On lit le tableau des effectifs : 3 élèves chaussent du 36, 5 du 37, etc.

Méthode 2 : trouver la médiane, pas à pas

Voici les 9 temps, dans l'ordre où ils ont été relevés.

On range les valeurs dans l'ordre croissant : de 35 s (le plus rapide) à 47 s (le plus lent).

On écarte les valeurs deux par deux : la plus petite et la plus grande, puis les suivantes… Il reste une seule valeur au centre.

L'effectif (9) est impair : la valeur centrale, la 5e, est la médiane. Elle partage la série en deux groupes de 4 valeurs.

Méthode 3 : analyser sa propre série

9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18On range les valeurs dans l'ordre croissant.

Effectif total : N = 10.N est pair.

Moyenne : 9 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 18 = 130, puis 130 ÷ 10 = 13.On additionne toutes les valeurs, puis on divise par l'effectif total (arrondi au centième).

Médiane : (12 + 13) ÷ 2 = 12,5.10 ÷ 2 = 5 : on fait la moyenne de la 5e et de la 6e valeur.

Méthode 4 : moyenne ou médiane ? L'effet d'une valeur extrême

47 s

La médiane reste 40 s, alors que la moyenne vaut ≈ 40,2 s. Faites glisser le curseur vers la droite pour ralentir encore le dernier nageur.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Déterminer la médiane d'une série d'effectif pair »

Série : 15 ; 22 ; 18 ; 30 ; 25 ; 12 ; 20 ; 27Temps (en min) de 8 trajets.

12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 27 ; 30On range les valeurs dans l'ordre croissant.

L'effectif total est 8 (pair) : les valeurs centrales sont la 4e et la 5e.8 ÷ 2 = 4 : 4e et 5e valeurs.

Médiane = (20 + 22) ÷ 2 = 21On fait la moyenne des deux valeurs centrales.

La médiane est 21 min : la moitié des trajets durent 21 min ou moins.On conclut par une phrase.

Exercices

Exercice 1

Inès a obtenu 11 (coefficient 1), 14 (coefficient 2), 8 (coefficient 1) et 15 (coefficient 4). Calcule sa moyenne, arrondie au dixième.

Exercice 2

Voici les pointures des 30 élèves de la 4e B.

Pointure	36	37	38	39	40	41
Effectif	3	5	8	7	4	3

a) Calcule la pointure moyenne, arrondie au dixième. b) Détermine la pointure médiane.

Exercice 3

Détermine la médiane de la série : 12 ; 5 ; 18 ; 9 ; 14 ; 7 ; 20.

Exercice 4

Voici le nombre d'enfants de 25 familles d'un immeuble.

Nombre d'enfants	0	1	2	3	4
Effectif	4	7	9	3	2

Calcule le nombre moyen et le nombre médian d'enfants par famille.

Exercice 5

Léo a eu 12, 9 et 15 à ses trois premiers contrôles (de même coefficient). Quelle note doit-il obtenir au 4e contrôle pour avoir exactement 13 de moyenne ?

Exercice 6

Voici les salaires mensuels (en €) des 9 employés d'une petite entreprise : 1 600 ; 1 650 ; 1 700 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 000 ; 2 100 ; 9 000. a) Calcule le salaire moyen (arrondi à l'euro) et le salaire médian. b) Lequel des deux représente le mieux les salaires de cette entreprise ?

Exercice 7

Vrai ou faux ? Justifie. a) « La médiane d'une série est toujours une des valeurs de la série. » b) « Dans une série, il y a toujours autant de valeurs au-dessus de la moyenne qu'en dessous. »

Exercice 8

Dans une classe de 4e, la moyenne des 12 filles à un contrôle est 13 et celle des 15 garçons est 11,2. Quelle est la moyenne de la classe ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en sport. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et sport

Qui sélectionner ?

En finale, seul le meilleur saut compte. Qui envoyer pour avoir le plus de chances de gagner ? Clique sur ton choix.

sports_soccer Maths et sport : mesurer, compter, comparer

Le stade : une unité de longueur devenue un lieu

Aux premiers Jeux olympiques connus, en 776 av. J.-C. à Olympie, il n'y avait qu'une épreuve : la course du stade. Le stade était d'abord une unité de longueur (environ 192 m à Olympie, soit 600 « pieds ») ; c'est ensuite le nom du terrain où l'on courait cette distance qui est resté. Quand tu vas au stade, tu vas donc… dans une unité de mesure !

42,195 km : le marathon le plus précis du monde

Le premier marathon olympique, à Athènes en 1896, mesurait environ 40 km, en souvenir du messager grec qui aurait couru de Marathon à Athènes. Aux Jeux de Londres, en 1908, le parcours part du château de Windsor et s'arrête devant la loge royale du stade : il mesure 42,195 km. Cette longueur est devenue la distance officielle en 1921.

Des secondes aux millièmes de seconde

Aux premiers Jeux modernes, on chronométrait à la main, au cinquième de seconde. Aujourd'hui, le chronométrage électronique et la photo-finish mesurent les temps au centième de seconde, et peuvent départager deux athlètes au millième. Un centième de seconde au 100 m, à la vitesse d'Usain Bolt (environ 10 mètres par seconde), c'est à peine 10 cm : la longueur d'une main !

La piste de 400 m et ses départs décalés

Sur une piste d'athlétisme, les deux virages forment un cercle. Dans le couloir extérieur, le rayon est plus grand, donc le cercle est plus long : 2 × π × r. Pour que tous les coureurs du 400 m parcourent la même distance, on décale les départs d'environ 7 m d'un couloir au suivant.

Un ballon d'Archimède

Le ballon de la Coupe du monde 1970, le célèbre Telstar, était cousu de 12 pentagones noirs et de 20 hexagones blancs : c'est un icosaèdre tronqué, l'un des solides décrits par Archimède il y a plus de 2 000 ans, « gonflé » pour devenir presque une sphère. Compte bien : 12 + 20 = 32 faces.

Quand les statistiques choisissent les joueurs

Au début des années 2000, l'équipe de baseball des Oakland Athletics, aux États-Unis, n'a pas d'argent pour acheter des stars. Son directeur, Billy Beane, recrute alors des joueurs grâce aux statistiques : moyennes, pourcentages de réussite… et son équipe enchaîne les victoires (l'histoire a été racontée dans le film Le Stratège). Aujourd'hui, tous les grands clubs de football ou de basket ont des analystes de données. Mais, comme dans la méthode « Qui sélectionner ? », il faut choisir le bon indicateur : le meilleur résultat, la moyenne, la médiane ou la régularité ne désignent pas toujours le même joueur.

Le saut qui a défié les calculs

Aux Jeux de Mexico, en 1968, l'Américain Bob Beamon saute 8,90 m en longueur : il améliore le record du monde de 55 cm d'un coup ! Les juges ont même dû mesurer à la main, l'appareil optique n'allant pas assez loin. Son record a tenu près de 23 ans, jusqu'aux 8,95 m de Mike Powell en 1991, toujours record du monde.

science À toi ! Mesure d'abord la longueur de ton pas : compte tes pas sur une distance connue (10 m tracés dans la cour, ou la longueur d'un terrain de basket, 28 m), puis divise la distance par le nombre de pas. En EPS, compte ensuite tes pas sur un tour de piste : nombre de pas × longueur d'un pas, et tu connais la longueur du tour ! Compare avec celle que donne ton professeur d'EPS. Chronomètre-toi enfin sur ce tour et calcule ta vitesse moyenne en m/s, puis en km/h (multiplie par 3,6).

history_edu Un peu d'histoire

Au 16e siècle, l'astronome danois Tycho Brahe mesurait plusieurs fois la position d'une même étoile : ses mesures n'étant jamais tout à fait identiques, il en faisait la moyenne pour réduire les erreurs. Au 19e siècle, le Belge Adolphe Quetelet applique ces calculs aux êtres humains (taille, poids…) et invente la notion d'« homme moyen ». La médiane, elle, a été nommée en 1843 par le mathématicien français Antoine Augustin Cournot (« valeur médiane »), puis popularisée par l'Anglais Francis Galton. Aujourd'hui, l'INSEE publie chaque année le salaire médian en France en plus du salaire moyen : quelques très hauts salaires suffisent à faire monter la moyenne, alors que la médiane indique le salaire qui partage les salariés en deux moitiés.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

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