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Puissances

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 9 · Les puissances d'un nombre relatif · Les puissances de 10 · L'écriture scientifique

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Les puissances d'un nombre relatif

Un produit de facteurs égaux

Définition

Pour tout nombre entier n positif non nul et tout nombre relatif a :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

et, par convention,

a^{0} = 1

(si a ≠ 0).

a^{n}

se lit « a puissance n » : c'est la puissance n-ième de a, et n est l'exposant.

Exemples :

$3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $0, 5^{3} = 0, 5 \times 0, 5 \times 0, 5 = 0, 125$ .
$(- 2)^{5} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 32$ : 5 facteurs négatifs, le résultat est négatif.
$(- 2)^{4} = 16$ : 4 facteurs négatifs, le résultat est positif.

Remarques :

a^{1} = a

. Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair. Attention aux parenthèses :

(- 2)^{4} = 16

mais

- 2^{4} = - (2 \times 2 \times 2 \times 2) = - 16

(l'exposant ne porte que sur 2).

Les puissances dans un calcul

Règle de priorité

En l'absence de parenthèses, on calcule les puissances en premier, avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.

Exemples :

A = 5 + 3 \times 2^{4}

La puissance d'abord, puis la multiplication, puis l'addition.

A = 5 + 3 \times 16

A = 5 + 48

A = 53

B = 20 - 2 \times 3^{2}

B = 20 - 2 \times 9

B = 20 - 18

B = 2

C = (5 + 3)^{2}

Avec des parenthèses, on calcule d'abord ce qu'elles contiennent.

C = 8^{2}

C = 64

Les puissances de 10

Exposant positif, exposant négatif

Définitions

Pour tout nombre entier n positif non nul :

$1 0^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times \dots \times 10}} = 1 \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}}$ et, par convention, $1 0^{0} = 1$ ;
$1 0^{- n} = \frac{1}{1 0^{n}} = 0, \underset{n - 1 z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} 1$ : le chiffre 1 est au n-ième rang après la virgule.

Exemples :

$1 0^{6} = 1 000 000$ (un million : 6 zéros) ; $1 0^{9}$ est un milliard.
$1 0^{- 4} = \frac{1}{1 0^{4}} = 0, 000 1$ (un dix-millième : le 1 est au 4e rang après la virgule).

Les préfixes des unités

Définition

Ces préfixes, placés devant une unité, désignent des puissances de 10 :

Préfixe

téra

giga

méga

kilo

hecto

déca

déci

centi

milli

micro

nano

pico

Symbole

Valeur

1 0^{12}

1 0^{9}

1 0^{6}

1 0^{3}

1 0^{2}

1 0^{1}

1 0^{- 1}

1 0^{- 2}

1 0^{- 3}

1 0^{- 6}

1 0^{- 9}

1 0^{- 12}

Exemples :

1 mégawatt = $1 0^{6}$ watts ; 1 téraoctet = $1 0^{12}$ octets.
1 micromètre = $1 0^{- 6}$ mètre ; 1 nanoseconde = $1 0^{- 9}$ seconde.

Multiplier et diviser des puissances de 10

Propriétés

Pour tous nombres entiers relatifs m et p :

1 0^{m} \times 1 0^{p} = 1 0^{m + p}

\frac{1 0^{m}}{1 0^{p}} = 1 0^{m - p}

Exemples :

D = 1 0^{5} \times 1 0^{- 8}

On additionne les exposants.

D = 1 0^{5 + (- 8)}

D = 1 0^{- 3}

E = \frac{1 0^{4}}{1 0^{- 2}}

On soustrait les exposants : attention au signe moins !

E = 1 0^{4 - (- 2)}

E = 1 0^{6}

Pourquoi ?

1 0^{3} \times 1 0^{2} = (10 \times 10 \times 10) \times (10 \times 10)

: il y a 3 + 2 = 5 facteurs 10, donc

1 0^{5}

L'écriture scientifique

Multiplier par une puissance de 10

Propriété 1

Multiplier un nombre par

1 0^{n}

(n entier positif) revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (en complétant par des zéros si nécessaire).

$3, 742 \times 1 0^{4} = 37 420$ : la virgule avance de 4 rangs vers la droite.

Propriété 2

Multiplier un nombre par

1 0^{- n}

revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (en complétant par des zéros si nécessaire).

$58, 6 \times 1 0^{- 3} = 0, 058 6$ : la virgule recule de 3 rangs vers la gauche.

L'écriture scientifique d'un nombre

Définition

Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme

a \times 1 0^{n}

, où :

a est un nombre décimal qui n'a qu'un seul chiffre non nul avant la virgule (pour un nombre positif : $1 ⩽ a < 10$ ) ;
n est un nombre entier relatif.

C'est son écriture scientifique (ou notation scientifique). Elle permet d'écrire et de comparer facilement de très grands et de très petits nombres.

Exemples :

Masse de la Terre : 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg = $5, 972 \times 1 0^{24}$ kg.
Vitesse de la lumière : environ 300 000 km/s = $3 \times 1 0^{5}$ km/s.
Épaisseur d'un cheveu : environ 0,000 07 m = $7 \times 1 0^{- 5}$ m.
Taille d'un virus : environ 0,000 000 1 m = $1 \times 1 0^{- 7}$ m.

Attention :

72, 5 \times 1 0^{3}

n'est pas une écriture scientifique (deux chiffres avant la virgule). On l'écrit

7, 25 \times 1 0^{1} \times 1 0^{3} = 7, 25 \times 1 0^{4}

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : déplier une puissance

(- 2)^{5} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2)

On écrit 5 facteurs égaux à −2.

5 facteurs négatifs : l'exposant est impair, le résultat est négatif.Règle des signes d'un produit.

(- 2)^{5} = - 32

On effectue le produit.

Méthode 2 : la virgule qui glisse

208641,

208,641 × 10² = 20 864,1
La virgule se décale de 2 rangs vers la droite.

Méthode 3 : calculer avec des puissances de 10

A = \frac{1 0^{5} \times 1 0^{- 2}}{1 0^{- 4}}

On veut écrire A sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.

Méthode 4 : trouver l'écriture scientifique d'un nombre

Nombre : 0,000 083On cherche a × 10ⁿ avec un seul chiffre non nul avant la virgule.

Premier chiffre non nul : 8. On place la virgule juste après : a = 8,3.On supprime les zéros inutiles.

Pour revenir au nombre de départ, il faut décaler la virgule de 5 rangs vers la gauche : n = −5.Nombre plus petit que 1 : exposant négatif.

0,000 083 =

8, 3 \times 1 0^{- 5}

C'est l'écriture scientifique.

Méthode 5 : du pico au téra, les préfixes

TGMkhdadcmµnp

kilo (k)

1 0^{3}

= 1 000

soit 3 zéros après le 1

1 km = 10³ m : environ 12 minutes de marche.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer et donner le résultat en écriture scientifique »

C = 6 \times 1 0^{4} \times 5 \times 1 0^{- 7}

On veut l'écriture scientifique de C.

C = 6 \times 5 \times 1 0^{4} \times 1 0^{- 7}

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.

C = 30 \times 1 0^{- 3}

6 × 5 = 30 et 4 + (−7) = −3.

C = 3 \times 1 0^{1} \times 1 0^{- 3}

30 n'a pas un seul chiffre avant la virgule : 30 = 3 × 10¹.

C = 3 \times 1 0^{- 2}

1 + (−3) = −2 : c'est l'écriture scientifique (C = 0,03).

Exercices

Exercice 1

Calcule :

2^{5}

;

(- 3)^{4}

;

- 3^{4}

;

(- 1)^{7}

;

0, 2^{3}

;

7^{0}

Exercice 2

Calcule en respectant les priorités :

A = 3 + 2 \times 5^{2}

;

B = (3 + 2)^{2} \times 2

;

C = 4^{3} - 2 \times 3^{3}

Exercice 3

Écris sous la forme d'une puissance de 10 : 10 000 000 ; 0,000 01 ; un milliard ; un dix-millième.

Exercice 4

Écris sous la forme

1 0^{n}

1 0^{6} \times 1 0^{- 9}

;

1 0^{- 2} \times 1 0^{- 5}

;

\frac{1 0^{8}}{1 0^{3}}

;

\frac{1 0^{3}}{1 0^{- 4}}

Exercice 5

Donne l'écriture décimale :

4, 56 \times 1 0^{3}

;

0, 72 \times 1 0^{5}

;

351 \times 1 0^{- 4}

;

6, 2 \times 1 0^{- 2}

Exercice 6

Donne l'écriture scientifique : 45 000 ; 0,000 6 ; 236,1 ; 0,030 5 ;

52 \times 1 0^{3}

;

0, 8 \times 1 0^{- 5}

Exercice 7

Convertis : 3,5 Go en octets ; 25 µm en mètres (écriture scientifique) ; 4 800 kW en MW.

Exercice 8

La lumière parcourt environ

3 \times 1 0^{5}

km par seconde, et la distance de la Terre au Soleil est d'environ

1, 5 \times 1 0^{8}

km. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour nous parvenir ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en sciences. Des activités à manipuler (monte le son !) et un peu d'histoire.

Maths et sciences

De l'atome à l'Univers

Fais glisser le curseur : à chaque cran, on change d'échelle d'une puissance de 10. Les scientifiques écrivent ces très grands et très petits nombres en écriture scientifique.

🧒

un enfant de 11 ans

environ 1,4 × 10⁰ m = 1,4 m

10⁻¹⁰ m1 m10²⁶ m

Par rapport au cran précédent (une souris) : environ 14 fois plus grand.

quiz Quiz : 🏔️ Quelle est la taille de le mont Everest ?

science Maths et sciences : mesurer le monde

Archimède et la couronne du roi (vers 250 avant J.-C.)

Le roi de Syracuse soupçonne son orfèvre d'avoir mélangé de l'argent à l'or de sa couronne. Il demande au savant Archimède de le vérifier… sans abîmer la couronne. Selon la légende, Archimède trouve la solution dans son bain, en voyant l'eau monter quand il s'y plonge, et court dans la rue en criant « Eurêka ! » (j'ai trouvé !). En plongeant la couronne dans l'eau, on mesure son volume ; si elle était en or pur, elle déplacerait autant d'eau qu'un lingot d'or de même masse. La couronne déplaçait plus d'eau : l'orfèvre avait triché !

Ératosthène mesure la Terre avec une ombre (vers 240 avant J.-C.)

À Syène, en Égypte, le jour le plus long de l'année, le Soleil éclaire le fond des puits à midi : il est exactement au-dessus. Le même jour, à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical fait une petite ombre : les rayons du Soleil arrivent avec un angle d'environ 7°, un cinquantième de tour complet. Ératosthène en déduit que le tour de la Terre mesure 50 fois la distance d'Alexandrie à Syène : environ 40 000 km. C'est presque la vraie valeur !

Archimède compte les grains de sable de l'Univers

Combien faudrait-il de grains de sable pour remplir tout l'Univers ? Dans un petit livre, L'Arénaire, Archimède invente une façon d'écrire des nombres immenses, en les regroupant par « myriades de myriades ». Il trouve un nombre qui s'écrirait aujourd'hui 10⁶³ : un 1 suivi de 63 zéros. C'est l'ancêtre de nos puissances de 10.

Galilée, la bille et le pendule

Vers 1583, à la cathédrale de Pise, le jeune Galilée observe un lustre qui se balance et mesure ses oscillations avec son pouls : elles durent toujours le même temps, qu'elles soient grandes ou petites. Plus tard, avec ses billes sur un plan incliné, il découvre que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps. Galilée écrit que le grand livre de la nature « est écrit dans la langue des mathématiques ».

Coups de canon pour mesurer la vitesse du son (1738)

Comment mesurer la vitesse du son ? En 1738, des savants de l'Académie des sciences tirent au canon, la nuit, entre Montmartre et Montlhéry, près de Paris. De l'autre côté, on voit l'éclair du canon tout de suite et on chronomètre le temps avant d'entendre la détonation. Ils trouvent environ 337 mètres par seconde, très proche de la valeur d'aujourd'hui : 340 mètres par seconde dans l'air.

Le mètre, mesuré sur la Terre (1792-1799)

Pendant la Révolution, les astronomes Delambre et Méchain mesurent pendant sept ans la distance entre Dunkerque et Barcelone, avec des triangles. But : définir une unité de longueur valable pour tous, le mètre, égal à un dix-millionième de la distance entre le pôle Nord et l'équateur. Le litre et le kilogramme en découlent : un litre, c'est un cube de 10 cm de côté ; un kilogramme, la masse d'un litre d'eau.

science À toi ! Chez toi, verse de l'eau dans un verre doseur gradué. Note le niveau, plonge une pomme de terre, un œuf ou une petite figurine, et lis le nouveau niveau : quel est le volume de l'objet ? Et au prochain orage, compte les secondes entre l'éclair et le tonnerre, puis divise par 3 : l'orage est à combien de kilomètres ?

history_edu Un peu d'histoire

Au 3e siècle avant J.-C., Archimède se lance un défi dans un texte appelé L'Arénaire : compter les grains de sable qu'il faudrait pour remplir l'Univers ! Pour écrire un nombre aussi énorme (environ

1 0^{63}

dans notre écriture), il invente un système de « myriades de myriades », une idée très proche de nos puissances. En 1484, le Français Nicolas Chuquet utilise des exposants, y compris 0 et des exposants négatifs, et propose les mots « byllion » et « tryllion ». La notation

a^{n}

avec l'exposant en haut à droite se répand grâce à René Descartes (1637). Les préfixes kilo, hecto, déca, déci, centi et milli naissent avec le système métrique, à la Révolution française (1795) ; méga, giga, téra, micro, nano et pico s'y ajoutent au 20e siècle, et en 2022 les scientifiques ont même créé ronna (

1 0^{27}

) et quetta (

1 0^{30}

) pour mesurer… la masse de la Terre ou du Soleil ! Enfin, en 1938, un garçon de 9 ans, Milton Sirotta, neveu du mathématicien Edward Kasner, baptise « googol » le nombre

1 0^{100}

: c'est de ce mot que vient le nom du moteur de recherche Google.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz