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Proportionnalité

Données et probabilités Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 13 · La quatrième proportionnelle · Utiliser la proportionnalité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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La quatrième proportionnelle

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité dont on connaît trois valeurs a, b et c, on peut calculer la valeur manquante x, appelée quatrième proportionnelle, grâce à l'égalité des produits en croix :

Grandeur 1	a	c
Grandeur 2	b	x ?

a \times x = b \times c

donc

x = \frac{b \times c}{a}

Exemple 1 : 4 kg de pommes coûtent 9,80 €. Le prix payé est proportionnel à la masse achetée. Combien coûtent 7 kg ?

Masse (kg)	4	7
Prix (€)	9,80	x ?

On regroupe les données dans un tableau de proportionnalité.

x = \frac{7 \times 9, 80}{4}

On calcule la quatrième proportionnelle.

x = 17, 15

7 kg de pommes coûtent 17,15 €.On conclut par une phrase.

Exemple 2 : un fichier de 360 Mo est téléchargé en 48 secondes. Combien de temps faut-il, dans les mêmes conditions, pour un fichier de 1 500 Mo ?

On suppose le débit de la connexion constant : la durée est proportionnelle à la taille du fichier.

Taille (Mo)	360	1 500
Durée (s)	48	x ?

x = \frac{1 500 \times 48}{360}

200 s = 3 × 60 s + 20 s.

x = 200

Il faut 200 s, soit 3 min 20 s.

Remarque : dans l'exemple 1, on peut aussi passer par l'unité : 9,80 ÷ 4 = 2,45 € le kilogramme, puis 2,45 × 7 = 17,15 €. Dans l'exemple 2, le « passage à l'unité » donne 48 ÷ 360 = 0,133 3… s par Mo, un nombre peu pratique : le calcul direct de la quatrième proportionnelle est alors bien plus efficace.

Utiliser la proportionnalité

Calculer un pourcentage

Exemple : un club sportif compte 240 adhérents, dont 84 sont mineurs. Quel est le pourcentage de mineurs dans ce club ?

On cherche le nombre de mineurs pour 100 adhérents, avec la même proportion.

Mineurs	84	x ?
Adhérents	240	100

Un pourcentage est une proportion « sur 100 ».

x = \frac{84 \times 100}{240}

x = 35

35 % des adhérents sont mineurs.

La vitesse moyenne

Définition

Si un mobile parcourt une distance d pendant une durée t, sa vitesse moyenne v est le quotient de d par t :

v = \frac{d}{t}

et donc

d = v \times t

;

t = \frac{d}{v}

Exemple 1 : un cycliste parcourt 45 km en 1 h 48 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

t = 1 h 48 min = 1 h +

\frac{48}{60}

h = 1,8 hOn convertit la durée en heures décimales.

v = \frac{45 km}{1, 8 h}

v = 25 km/h

Exemple 2 : à 90 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 60 km ?

t = \frac{60}{90} h

t = \frac{2}{3} h

\frac{2}{3} \times 60 min = 40 min

On convertit en minutes.

Attention aux unités : 1 h 48 min n'est pas 1,48 h (48 minutes, c'est 0,8 h). Et la vitesse s'exprime dans les unités de d et de t : en km/h, en m/s… Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 (1 m/s = 3 600 m/h = 3,6 km/h).

Les grandeurs composées

Une vitesse est une grandeur quotient : elle s'obtient en divisant une grandeur par une autre (km/h). En voici deux autres.

Exemple 1 : le débit. Un robinet qui fuit perd 432 L d'eau par jour. Quel est son débit, en L/min ?

Le débit est la quantité d'eau écoulée par unité de temps. Une journée compte 24 × 60 = 1 440 min.

Volume (L)	432	x ?
Durée (min)	1 440	1

x = \frac{432 \times 1}{1 440} = 0, 3

: le débit de la fuite est de 0,3 L/min.

Exemple 2 : la masse volumique. L'aluminium a une masse volumique de 2,7 kg/dm³ : 1 dm³ d'aluminium pèse 2,7 kg. Combien pèse une plaque d'aluminium de 3,2 dm³ ?

Volume (dm³)	1	3,2
Masse (kg)	2,7	x ?

x = \frac{3, 2 \times 2, 7}{1} = 8, 64

: la plaque pèse 8,64 kg.

Remarque : l'eau a une masse volumique de 1 kg/dm³ (1 litre d'eau pèse 1 kg). Un matériau de masse volumique inférieure à 1 kg/dm³, comme le bois de chêne (environ 0,7 kg/dm³), flotte sur l'eau.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une quatrième proportionnelle

x \times 4 = 7 \times 9, 8

Les produits en croix sont égaux : x est sur la même diagonale que le nombre en orange.

x = \frac{7 \times 9, 8}{4}

On multiplie les deux nombres de l'autre diagonale (en vert) et on divise par le troisième (en orange).

x = 17, 15

Calcul : 7 × 9,8 ÷ 4.

Méthode 2 : distance, durée et vitesse sur un trajet

t = \frac{d}{v}

Durée = distance ÷ vitesse, en heures.

t = \frac{120}{50}

t = 2, 4 h

2,4 h = 2 h + 0,4 × 60 min = 2 h 24 minOn convertit la partie décimale des heures en minutes (× 60).

Méthode 3 : remplir une cuve (le débit)

t = \frac{V}{d \overset{ˊ}{e} bit}

Le débit est le volume écoulé par minute : on divise le volume par le débit.

t = \frac{1 200}{16}

t = 75 min

75 min = 1 h 15 minConversion en heures et minutes (60 min = 1 h).

Méthode 4 : convertir une vitesse, pas à pas

v = 300 km/h : le train parcourt 300 km en 1 h.

On traduit la vitesse en une distance parcourue pendant une durée.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une vitesse moyenne »

Léo court 10 km en 50 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

d = 10 km et t = 50 min =

\frac{50}{60}

h =

\frac{5}{6}

h.On veut des km/h : on convertit la durée en heures.

v = \frac{d}{t} = 10 \div \frac{5}{6} = 10 \times \frac{6}{5} = 12

On applique la formule (diviser par 5/6, c'est multiplier par 6/5).

La vitesse moyenne de Léo est de 12 km/h.On conclut avec l'unité.

Exercices

Exercice 1

Calcule la quatrième proportionnelle dans chaque tableau.

Grandeur 1	12	18
Grandeur 2	30	x ?

Grandeur 1	2,5	x ?
Grandeur 2	7	21

Exercice 2

Pour 6 personnes, une recette de crêpes utilise 450 g de farine. Quelle quantité faut-il pour 10 personnes ?

Exercice 3

a) 27 élèves sur 36 ont réussi un test : quel pourcentage cela représente-t-il ? b) Un pull passe de 45 € à 36 € : quel est le pourcentage de réduction ?

Exercice 4

Un train parcourt 210 km en 1 h 30 min. Calcule sa vitesse moyenne.

Exercice 5

Une voiture roule à la vitesse moyenne de 80 km/h. a) Quelle distance parcourt-elle en 2 h 15 min ? b) Combien de temps met-elle pour parcourir 100 km ?

Exercice 6

Convertis : 72 km/h en m/s ; 15 m/s en km/h.

Exercice 7

Un tuyau d'arrosage débite 24 L par minute. Combien de temps faut-il pour remplir une piscine gonflable de 3 000 L ?

Exercice 8

Le fer a une masse volumique de 7,9 kg/dm³. Combien pèse un cube de fer de 2 dm d'arête ? Flotte-t-il sur l'eau ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en sport. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et sport

Cours contre Usain Bolt

Choisis les coureurs, donne ton temps au 100 m, puis lance la course. Chacun court à sa vitesse moyenne (en vrai, un sprinteur accélère au départ).

sports_soccer Maths et sport : mesurer, compter, comparer

Le stade : une unité de longueur devenue un lieu

Aux premiers Jeux olympiques connus, en 776 av. J.-C. à Olympie, il n'y avait qu'une épreuve : la course du stade. Le stade était d'abord une unité de longueur (environ 192 m à Olympie, soit 600 « pieds ») ; c'est ensuite le nom du terrain où l'on courait cette distance qui est resté. Quand tu vas au stade, tu vas donc… dans une unité de mesure !

42,195 km : le marathon le plus précis du monde

Le premier marathon olympique, à Athènes en 1896, mesurait environ 40 km, en souvenir du messager grec qui aurait couru de Marathon à Athènes. Aux Jeux de Londres, en 1908, le parcours part du château de Windsor et s'arrête devant la loge royale du stade : il mesure 42,195 km. Cette longueur est devenue la distance officielle en 1921.

Des secondes aux millièmes de seconde

Aux premiers Jeux modernes, on chronométrait à la main, au cinquième de seconde. Aujourd'hui, le chronométrage électronique et la photo-finish mesurent les temps au centième de seconde, et peuvent départager deux athlètes au millième. Un centième de seconde au 100 m, à la vitesse d'Usain Bolt (environ 10 mètres par seconde), c'est à peine 10 cm : la longueur d'une main !

La piste de 400 m et ses départs décalés

Sur une piste d'athlétisme, les deux virages forment un cercle. Dans le couloir extérieur, le rayon est plus grand, donc le cercle est plus long : 2 × π × r. Pour que tous les coureurs du 400 m parcourent la même distance, on décale les départs d'environ 7 m d'un couloir au suivant.

Un ballon d'Archimède

Le ballon de la Coupe du monde 1970, le célèbre Telstar, était cousu de 12 pentagones noirs et de 20 hexagones blancs : c'est un icosaèdre tronqué, l'un des solides décrits par Archimède il y a plus de 2 000 ans, « gonflé » pour devenir presque une sphère. Compte bien : 12 + 20 = 32 faces.

Quand les statistiques choisissent les joueurs

Au début des années 2000, l'équipe de baseball des Oakland Athletics, aux États-Unis, n'a pas d'argent pour acheter des stars. Son directeur, Billy Beane, recrute alors des joueurs grâce aux statistiques : moyennes, pourcentages de réussite… et son équipe enchaîne les victoires (l'histoire a été racontée dans le film Le Stratège). Aujourd'hui, tous les grands clubs de football ou de basket ont des analystes de données. Mais, comme dans la méthode « Qui sélectionner ? », il faut choisir le bon indicateur : le meilleur résultat, la moyenne, la médiane ou la régularité ne désignent pas toujours le même joueur.

Le saut qui a défié les calculs

Aux Jeux de Mexico, en 1968, l'Américain Bob Beamon saute 8,90 m en longueur : il améliore le record du monde de 55 cm d'un coup ! Les juges ont même dû mesurer à la main, l'appareil optique n'allant pas assez loin. Son record a tenu près de 23 ans, jusqu'aux 8,95 m de Mike Powell en 1991, toujours record du monde.

science À toi ! Mesure d'abord la longueur de ton pas : compte tes pas sur une distance connue (10 m tracés dans la cour, ou la longueur d'un terrain de basket, 28 m), puis divise la distance par le nombre de pas. En EPS, compte ensuite tes pas sur un tour de piste : nombre de pas × longueur d'un pas, et tu connais la longueur du tour ! Compare avec celle que donne ton professeur d'EPS. Chronomètre-toi enfin sur ce tour et calcule ta vitesse moyenne en m/s, puis en km/h (multiplie par 3,6).

history_edu Un peu d'histoire

La « règle de trois », qui permet de calculer une quatrième proportionnelle à partir de trois nombres, est très ancienne : les mathématiciens indiens, comme Brahmagupta au 7e siècle, l'appellent trairāśika (« les trois quantités ») et l'utilisent pour le commerce. Elle passe par les savants arabes et arrive en Europe grâce au Liber abaci de Fibonacci (1202), où les marchands italiens apprennent à convertir des monnaies et des poids. La masse volumique a sa propre légende : selon l'architecte romain Vitruve, Archimède aurait compris, en entrant dans son bain, comment mesurer le volume d'une couronne pour vérifier qu'elle était en or pur… et serait sorti dans la rue en criant « Eurêka ! » (« J'ai trouvé ! »). Enfin, en 1795, les révolutionnaires français définissent le kilogramme comme la masse d'un décimètre cube d'eau : c'est pour cela que la masse volumique de l'eau vaut exactement 1 kg/dm³.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz