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Théorème de Thalès

Géométrie Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 2 · Le théorème de Thalès · La réciproque du théorème de Thalès

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Le théorème de Thalès

L'énoncé et les trois configurations

Théorème de Thalès

Si les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Les deux droites (BM) et (CN) se coupent en A. Selon la position de M et N, on rencontre trois figures :

M sur [AB], N sur [AC] : réduction (vu en 4e)

B sur [AM], C sur [AN] : agrandissement

A entre B et M, et entre C et N : « papillon »

Dans les trois cas, les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC. On associe les côtés qui se correspondent : [AM] et [AB] sur la même droite, [AN] et [AC] sur l'autre, puis les côtés parallèles [MN] et [BC].

Calculer une longueur

Exemple : les points B, A, M d'une part, et C, A, N d'autre part, sont alignés, et (BC) // (MN). On sait que AB = 40 mm, AM = 16 mm, AN = 14 mm et BC = 30 mm. On cherche AC et MN.

Les points B, A, M et C, A, N sont alignés, et (BC) // (MN).On vérifie les conditions du théorème.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

D'après le théorème de Thalès.

\frac{16}{40} = \frac{14}{A C} = \frac{M N}{30}

On remplace par les longueurs connues.

A C = \frac{40 \times 14}{16} = 35

mmProduit en croix avec les deux premiers rapports.

M N = \frac{16 \times 30}{40} = 12

mmProduit en croix avec le premier et le troisième rapport.

Prouver que deux droites ne sont pas parallèles

Conséquence du théorème

Si les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés, et si

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Exemple : AB = 9 cm, AM = 12 cm, AC = 8 cm et AN = 10 cm (la figure n'est pas en vraie grandeur).

Les points A, B, M et A, C, N sont alignés.

\frac{A M}{A B} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = \frac{16}{12}

\frac{A N}{A C} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = \frac{15}{12}

On calcule séparément les deux rapports (même dénominateur pour comparer).

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

Les rapports sont différents.

Donc (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.Si elles l'étaient, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.

La réciproque du théorème de Thalès

L'énoncé : attention à l'ordre des points

Réciproque du théorème de Thalès

Si les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés dans le même ordre, et si

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Attention : l'égalité des rapports ne suffit pas. Ci-dessous,

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = 0, 5

, mais M est du même côté de A que B alors que N est de l'autre côté que C : les points ne sont pas dans le même ordre, et (MN) n'est pas parallèle à (BC).

Prouver que deux droites sont parallèles

Exemple : dans cette figure, AB = 6 cm, AC = 5 cm, AM = 4,2 cm et AN = 3,5 cm.

Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre.A est entre M et B, et entre N et C.

\frac{A M}{A B} = \frac{4, 2}{6} = 0, 7

On calcule séparément le premier rapport.

\frac{A N}{A C} = \frac{3, 5}{5} = 0, 7

Puis le second.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

Les rapports sont égaux.

Donc (BC) // (MN).D'après la réciproque du théorème de Thalès.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : explorer les trois configurations

M sur [AB], N sur [AC]

\frac{A M}{A B} = \frac{3}{6} = 0, 5

\frac{A N}{A C} = \frac{2, 5}{5} = 0, 5

Rapports égaux et points dans le même ordre : (MN) est parallèle à (BC).

Méthode 2 : calculer une longueur dans une configuration papillon

Les points E, O, G et F, O, H sont alignés, et (EF) // (GH).

On vérifie les conditions du théorème de Thalès.

Méthode 3 : parallèles ou pas ?

Les points R, S, U et R, T, V sont alignés dans le même ordre.

S ∈ [RU] et T ∈ [RV] : première condition de la réciproque.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une longueur avec le théorème de Thalès »

Les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés, et (BC) // (MN).1. On cite les alignements et le parallélisme.

D'après le théorème de Thalès :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

2. On nomme le théorème et on écrit l'égalité des rapports.

On remplace les longueurs connues.3. On garde deux rapports : un connu, un avec l'inconnue.

Produit en croix, puis on conclut avec l'unité.4. On calcule et on répond.

Rédaction type : « Prouver que deux droites sont (ou ne sont pas) parallèles »

Les points A, B, M et A, C, N sont alignés (dans le même ordre).1. On cite les alignements et on vérifie l'ordre.

On calcule séparément

\frac{A M}{A B}

\frac{A N}{A C}

.2. Jamais d'égalité écrite avant de l'avoir prouvée.

Égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (BC) // (MN).3a. Rapports égaux et même ordre.

Différents : d'après le théorème de Thalès, (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.3b. Rapports différents.

Exercices

Exercice 1

Les points E, F, K d'une part, et E, G, H d'autre part, sont alignés, et (FG) // (HK). Écris l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.

Exercice 2

Les points A, B, M et A, C, N sont alignés, B ∈ [AM], C ∈ [AN] et (BC) // (MN). On sait que AB = 5 cm, AM = 8 cm, AC = 6 cm et MN = 12 cm. Calcule AN et BC.

Exercice 3

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et (AB) // (CD). On sait que OA = 3 cm, OC = 7,5 cm, OB = 4 cm et AB = 5 cm. Calcule OD et CD.

Exercice 4

Les points J, I, K d'une part, et L, I, M d'autre part, sont alignés, avec IJ = 5 cm, IK = 7 cm, IL = 6 cm et IM = 8 cm. Les droites (JL) et (KM) sont-elles parallèles ?

Exercice 5

Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre, avec AM = 2,8 cm, AB = 3,5 cm, AN = 4 cm et AC = 5 cm. Montre que (MN) // (BC).

Exercice 6

M est sur le segment [AB], et N est sur la droite (AC), mais de l'autre côté de A que C. On sait que AM = 2 cm, AB = 5 cm, AN = 3 cm et AC = 7,5 cm. Lina affirme : « les rapports sont égaux, donc (MN) // (BC) ». A-t-elle raison ?

Exercice 7

Une rampe d'accès [AC] part du sol au point A. Un poteau vertical [MN] de 0,4 m soutient la rampe à 2 m de A. Quelle est la hauteur BC de la rampe à 5 m de A ?

Exercice 8

Pour connaître la largeur DE d'un étang, Tom plante des piquets : D, O, B d'une part, et E, O, C d'autre part, sont alignés, et (BC) // (DE). Il mesure OB = 30 m, OD = 75 m et BC = 24 m. Quelle est la largeur DE de l'étang ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en peinture. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et arts

Le pavement d'Alberti

Le tableau est une fenêtre ouverte sur le monde (Alberti, De pictura, 1435). En bas, la ligne de terre : on la partage en carreaux égaux, ici 6 carreaux de même largeur.

Étape 1 / 8

palette Maths et arts : la perspective, une invention de peintres-géomètres

Avant la Renaissance, les peintres ne cherchent pas à imiter ce que voit l'œil : au Moyen Âge, un personnage est souvent dessiné d'autant plus grand qu'il est important. Vers 1300, le Florentin Giotto donne de la profondeur à ses scènes, mais « à l'œil », sans règle : ses lignes fuyantes ne se rejoignent pas en un seul point.

Brunelleschi et l'expérience du miroir (Florence, vers 1415)

L'architecte Filippo Brunelleschi peint le baptistère de Florence sur un petit panneau, en suivant des règles géométriques. Il perce un trou au point de fuite et demande au spectateur de regarder, par l'arrière du panneau, le reflet de la peinture dans un miroir. En retirant le miroir, on voit le vrai baptistère : la peinture et le monument se superposent exactement. La perspective vient de naître !

Alberti : le tableau est une fenêtre (1435)

Dans son livre De pictura (« De la peinture »), Leon Battista Alberti écrit la première méthode : le tableau est « une fenêtre ouverte » à travers laquelle on regarde la scène. Il explique comment dessiner un carrelage : ligne de terre, point de fuite, puis une diagonale pour placer les rangées. C'est la construction de la méthode « Le pavement d'Alberti » ; elle repose sur ce que nous appelons aujourd'hui le théorème de Thalès.

Piero della Francesca, peintre et mathématicien

Piero della Francesca (vers 1412-1492) est à la fois un grand peintre et un mathématicien : il écrit un traité de perspective pour les peintres (De prospectiva pingendi), mais aussi des livres de calcul et un traité sur les polyèdres réguliers. Ses tableaux sont construits comme des figures de géométrie. Au même moment, à Urbino, un peintre resté inconnu peint La Cité idéale : une place parfaite, toute en fuyantes, dont le point de fuite est la porte d'un temple rond.

Léonard de Vinci et La Cène (Milan, 1495-1498)

Dans La Cène, toutes les lignes du plafond, des murs et des tapisseries conduisent le regard vers la tête du Christ, au centre. Les restaurateurs ont même retrouvé, dans l'enduit, à cet endroit, la trace d'un clou : Léonard y avait sans doute attaché des fils tendus pour tracer ses fuyantes.

Dürer et ses machines à dessiner (1525)

Le peintre allemand Albrecht Dürer publie en 1525 un livre de géométrie pour les artistes. Une de ses gravures montre deux hommes dessinant un luth (encore la musique !) : un fil part d'un clou planté au mur, qui joue le rôle de l'œil, et va toucher un point du luth. On note l'endroit où le fil traverse un cadre ; point après point, le dessin en perspective apparaît sur le cadre. C'est exactement une projection : chaque point de l'objet est relié à l'œil.

Des peintres aux mathématiciens… et aux jeux vidéo

Au 17e siècle, le Lyonnais Girard Desargues fait de la perspective une branche des mathématiques : pour lui, des droites parallèles se rejoignent en un point à l'infini, comme les fuyantes au point de fuite. Au 19e siècle, Jean-Victor Poncelet en fait la géométrie projective. Aujourd'hui, chaque image d'un jeu vidéo en 3D est calculée de la même façon : pour dessiner un objet, l'ordinateur divise ses dimensions par sa distance à la caméra. Plus loin, plus petit… comme chez Alberti.

science À toi ! Colle une feuille de calque ou de plastique transparent sur une vitre qui donne sur une rue ou un couloir. Ferme un œil, garde la tête immobile, et décalque au feutre les bords des trottoirs, des toits, des fenêtres. Prolonge ensuite tes traits à la règle : où se rejoignent-ils ? Tu viens de refaire l'expérience des peintres de la Renaissance.

history_edu Un peu d'histoire

Thalès de Milet (vers 625 – 547 av. J.-C.) est souvent présenté comme le premier mathématicien grec. D'après le philosophe Proclus, qui s'appuie sur un historien plus ancien, Thalès savait calculer la distance d'un navire en mer depuis le rivage, sans quitter la côte : avec deux triangles de même forme, l'un petit, tracé sur la terre ferme, l'autre immense, qui va jusqu'au bateau. C'est exactement l'idée de la configuration « papillon » ! Pendant des siècles, les arpenteurs et les géomètres ont utilisé ce principe pour mesurer des distances impossibles à parcourir : largeur d'une rivière, hauteur d'une tour, distance d'une île…

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz