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Probabilités

Données et probabilités Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 10 · Le langage des probabilités · Calculer des probabilités · Des fréquences aux probabilités

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Le langage des probabilités

Expérience aléatoire

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience qui dépend du hasard, dont on peut décrire tous les résultats possibles, mais sans savoir lequel va se produire.
Chaque résultat possible est une issue.

Exemple : on fait tourner une roue de loterie partagée en 8 secteurs identiques, numérotés de 1 à 8, et on lit le numéro indiqué par la flèche.

C'est une expérience aléatoire qui a huit issues : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.

Les évènements

Définitions

Un évènement est un ensemble d'une ou plusieurs issues.
Un évènement constitué d'une seule issue est un évènement élémentaire.
Un évènement toujours réalisé est un évènement certain ; un évènement jamais réalisé est un évènement impossible.
L'évènement contraire d'un évènement A, noté $\overline{A}$ , est l'ensemble des issues qui n'appartiennent pas à A.

Exemple : on reprend la roue.

A : « Obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6 ; 8} est un évènement.
B : « Obtenir 5 » est un évènement élémentaire.
C : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 8 » est un évènement certain ; D : « Obtenir 9 » est un évènement impossible.
$\overline{A}$ : « Obtenir un nombre impair » = {1 ; 3 ; 5 ; 7} est l'évènement contraire de A.

Calculer des probabilités

La probabilité d'un évènement

Définition

La probabilité d'un évènement A est un nombre compris entre 0 et 1, noté P(A), qui exprime ses « chances » de se réaliser.

Propriétés

La probabilité d'un évènement impossible est 0 ; celle d'un évènement certain est 1.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Exemples, avec la roue : P(C) = 1 et P(D) = 0 ; P(« 1 ») + P(« 2 ») + … + P(« 8 ») = 1.

Quand toutes les issues ont les mêmes chances : l'équiprobabilité

Définition

Lorsque les issues d'une expérience aléatoire ont toutes autant de chances de se réaliser, c'est-à-dire que leurs probabilités sont égales, on dit qu'elles sont équiprobables.

Propriété

En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement E s'obtient en divisant le nombre d'issues favorables à E par le nombre total d'issues :

P (E) = \frac{nombre d’issues favorables \overset{ˋ}{a} E}{nombre total d’issues}

Exemples, avec la roue (secteurs identiques : les 8 issues sont équiprobables) :

Chaque issue a une probabilité de $\frac{1}{8}$ : P(B) = $\frac{1}{8}$ .
A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} : 4 issues favorables sur 8, donc $P (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
E : « Obtenir un multiple de 3 » = {3 ; 6}, donc $P (E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Remarque : une probabilité s'écrit souvent sous la forme d'une fraction (irréductible si possible), mais aussi d'un nombre décimal ou d'un pourcentage :

\frac{1}{4} = 0, 25 = 25 %

La probabilité d'un évènement contraire

Propriété

La somme des probabilités d'un évènement A et de son contraire

\overline{A}

est égale à 1 :

P (A) + P (\overline{A}) = 1

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Exemple : E : « Obtenir un multiple de 3 », avec $P (E) = \frac{1}{4}$ .

En comptant : $\overline{E}$ = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8}, donc $P (\overline{E}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .
Avec la formule, plus rapide : $P (\overline{E}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Des fréquences aux probabilités

Propriété

Lorsqu'on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d'un évènement E finit par se stabiliser autour de sa probabilité P(E).

Exemple : on a fait tourner la roue un grand nombre de fois et relevé la fréquence de l'évènement B : « Obtenir 5 ».

Nombre de tours de roue	10	50	200	1 000	10 000
Fréquence de B	0,2	0,08	0,135	0,119	0,1256

Plus le nombre de tours est grand, plus la fréquence de B se rapproche de $P (B) = \frac{1}{8} = 0, 125$ .

Remarque : un tableur ou un programme (Scratch, Python…) permet de simuler des milliers d'expériences en quelques secondes (onglet Méthode).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : un sac de billes à composer

532

P(« rouge ») =

\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

P(« bleue ») =

\frac{3}{10}

P(« verte ») =

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

P(« pas rouge ») =

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Méthode 2 : lancer deux dés (tableau à double entrée et simulation)

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

La somme 7 apparaît dans 6 cases sur 36 : P(« somme 7 ») = 6/36 = 1/6. La somme 2 dans une seule : 1/36.

0 lancers. Barres bleues : fréquences observées ; traits orange : probabilités (sur 36).

Méthode 3 : une expérience à deux épreuves, avec un arbre

Premier lancer : deux issues équiprobables, P ou F.

Méthode 4 : ce jeu est-il équitable ?

Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables.

Chaque case du tableau à double entrée (Méthode 2) est une issue.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité »

Les 10 billes sont indiscernables : les 10 issues sont équiprobables.1. On justifie l'équiprobabilité.

Il y a 3 billes bleues : 3 issues favorables sur 10.2. On compte les issues favorables et le total.

P (« bleue ») = \frac{3}{10} = 0, 3

3. On écrit la probabilité.

P (« pas bleue ») = 1 - 0, 3 = 0, 7

4. Pour le contraire : 1 − P.

Exercices

Exercice 1

Un sac contient 5 billes rouges, 3 bleues et 2 vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard. Calcule la probabilité de tirer : a) une bille rouge ; b) une bille bleue ; c) une bille qui n'est pas verte.

Exercice 2

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique ; 8 cartes par couleur, dont un roi). Calcule la probabilité de tirer : a) un roi ; b) un cœur ; c) le roi de cœur ; d) une carte qui n'est pas un cœur.

Exercice 3

On lance un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12. Donne un exemple d'évènement certain, d'évènement impossible et d'évènement élémentaire. Calcule la probabilité de l'évènement « obtenir un nombre premier ».

Exercice 4

La météo annonce une probabilité de pluie de 35 % pour demain. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

Exercice 5

Une roue est partagée en trois secteurs : un rouge de 180°, un bleu de 120° et un vert de 60°. Les issues « rouge », « bleu », « vert » sont-elles équiprobables ? Calcule leurs probabilités.

Exercice 6

Lina lance une pièce 20 fois et obtient 13 fois pile. Elle affirme : « la pièce est truquée, car la fréquence de pile est 0,65 et non 0,5 ». A-t-elle raison ?

Exercice 7

On lance deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux faces. En t'aidant du tableau à double entrée (Méthode 2), calcule la probabilité d'obtenir : a) une somme égale à 7 ; b) une somme égale à 12 ; c) une somme supérieure ou égale à 10.

Exercice 8

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Construis un arbre et calcule la probabilité d'obtenir : a) deux fois pile ; b) au moins une fois face ; c) deux résultats différents.

Exercice 9

Léo et Sam lancent deux dés. Léo gagne si la somme est paire, Sam si elle est impaire. Le jeu est-il équitable ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise dans la nature et dans les jeux. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et nature

Combien de poissons dans l'étang ?

Les biologistes veulent savoir combien de poissons vivent dans un étang… sans pouvoir tous les pêcher. Leur méthode : pêcher, marquer, relâcher, puis repêcher.

Combien de poissons y a-t-il ? Trop nombreux pour les compter un par un…

eco Maths et nature : les formes du vivant

Les lapins de Fibonacci et les spirales des fleurs

En 1202, l'Italien Fibonacci pose un petit problème : un couple de lapins donne naissance chaque mois à un nouveau couple, qui se reproduit à son tour dès son deuxième mois. Combien de couples au bout d'un an ? Les nombres de couples forment la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… : chaque nombre est la somme des deux précédents. Surprise : on retrouve ces nombres partout dans les plantes. Sur une pomme de pin, on compte souvent 8 spirales dans un sens et 13 dans l'autre ; sur un tournesol, 34 et 55. C'est la conséquence de l'angle d'or (environ 137,5°) entre deux graines successives.

Kepler et le flocon à six branches (1611)

Pour le Nouvel An 1611, l'astronome Johannes Kepler offre à un ami un petit livre : L'étrenne, ou la neige à six angles. Il s'y demande pourquoi tous les flocons de neige ont six branches. Il faudra attendre le 20e siècle et l'étude des cristaux pour le comprendre : les molécules d'eau de la glace s'assemblent en hexagones. Chaque flocon a ainsi 6 axes de symétrie… et pourtant, comme l'a montré l'Américain Wilson Bentley, qui en a photographié plus de 5 000 à partir de 1885, deux flocons ne sont jamais tout à fait identiques.

Les abeilles, championnes de géométrie

Pourquoi les alvéoles des ruches sont-elles des hexagones ? Le savant grec Pappus d'Alexandrie, au 4e siècle, parlait déjà de la « sagacité des abeilles » : avec des hexagones, on pave tout le plan sans laisser de trou, en utilisant le moins de cire possible pour une même surface. Ce n'est qu'en 1999 que le mathématicien américain Thomas Hales a démontré que l'hexagone est vraiment la meilleure solution.

Compter les poissons sans les pêcher tous

Vers 1890, le biologiste danois Carl Petersen marque des poissons (des plies) pour étudier leurs déplacements, et comprend qu'il peut aussi estimer leur nombre par proportionnalité : c'est la méthode de capture-recapture. Un siècle plus tôt, Laplace avait déjà utilisé une idée semblable pour estimer la population de la France à partir des naissances. Aujourd'hui, on compte ainsi les oiseaux, les papillons, les loups… ou les ours, grâce à des poils laissés sur des barbelés.

Les fractales : le chou romanesco et la fougère

Regarde un chou romanesco : chaque petite pointe est une copie réduite du chou entier, elle-même faite de pointes encore plus petites. Une feuille de fougère aussi est faite de petites feuilles qui lui ressemblent. En 1975, le mathématicien Benoît Mandelbrot appelle ces formes des fractales. Il pose une question étonnante : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? Plus on la mesure finement, en suivant chaque rocher, plus elle est longue !

science À toi ! Ramasse une pomme de pin (ou regarde le cœur d'un tournesol, d'une marguerite, d'un ananas). Avec un feutre, suis une spirale de la base jusqu'au sommet, puis compte combien il y en a qui tournent dans ce sens. Compte ensuite celles qui tournent dans l'autre sens. Trouves-tu deux nombres de Fibonacci, comme 8 et 13 ?

Maths et jeux

Les trois dés de Galilée

Vers 1620, des joueurs de Florence posent une énigme à Galilée. Avec trois dés, la somme 9 s'obtient de 6 façons, et la somme 10 aussi. Pourtant, en jouant, ils voient sortir 10 plus souvent que 9. Pourquoi ?

9 : 1+2+6 · 1+3+5 · 1+4+4 · 2+2+5 · 2+3+4 · 3+3+3

10 : 1+3+6 · 1+4+5 · 2+2+6 · 2+3+5 · 2+4+4 · 3+3+4

Lance les dés, beaucoup de fois, et compare les barres de 9 et de 10.

extension Maths et jeux : une très longue histoire

Le carré magique de la tortue (Chine)

Une légende chinoise raconte qu'il y a plus de 4 000 ans, une tortue sortit du fleuve Luo. Sur sa carapace, des points dessinaient les nombres de 1 à 9 rangés en carré : chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale faisait 15. C'est le Lo Shu, le plus ancien carré magique connu. Bien plus tard, en 1514, le peintre allemand Albrecht Dürer cache un carré magique de 4 cases sur 4 dans sa gravure Melencolia I : en bas, au milieu, on lit l'année… 15 14 !

Les osselets et les premiers dés

Dans l'Antiquité, on jouait avec des astragales, de petits os de mouton à quatre faces : nos osselets. Les Égyptiens, les Grecs et les Romains jouaient aussi aux dés, déjà marqués de 1 à 6, avec les faces opposées qui font toujours 7. Au jeu royal d'Ur, en Mésopotamie, on lançait des dés en forme de pyramide il y a 4 500 ans.

Quand les jeux de hasard inventent les probabilités

Vers 1620, Galilée explique à des joueurs de Florence pourquoi, avec trois dés, la somme 10 sort plus souvent que la somme 9. En 1654, le chevalier de Méré, grand joueur, pose à Blaise Pascal le « problème des partis » : une partie est interrompue, comment partager équitablement l'argent misé ? Pascal en discute par lettres avec Pierre de Fermat : leur correspondance est considérée comme la naissance du calcul des probabilités.

Le jeu des allumettes : un jeu « résolu »

On joue à prendre des objets chacun son tour depuis très longtemps, partout dans le monde. En 1901, le mathématicien américain Charles Bouton donne à ce jeu le nom de Nim et trouve la stratégie gagnante pour toutes ses variantes. Le jeu est devenu célèbre en France grâce à l'émission Fort Boyard, où les candidats affrontent un maître du jeu… qui connaît le secret.

Les tours de Hanoï et la légende de Bénarès (1883)

Le mathématicien français Édouard Lucas invente ce casse-tête en 1883 et le vend sous un faux nom, « N. Claus de Siam »… l'anagramme de « Lucas d'Amiens ». Il l'accompagne d'une légende : dans un temple, des moines déplacent jour et nuit une tour de 64 disques d'or ; quand ils auront fini, ce sera la fin du monde. Rassure-toi : il faut 2⁶⁴ − 1 déplacements, soit plus de 580 milliards d'années à raison d'un déplacement par seconde !

sports_esports À toi ! Joue au jeu des allumettes avec quelqu'un de ta famille, avec des crayons ou des pièces, en utilisant le secret. Gagnes-tu à chaque fois ? Puis invente une variante (on peut prendre 1, 2, 3 ou 4 objets) : quel est le nouveau secret ?

history_edu Un peu d'histoire

En 1654, le chevalier de Méré, grand amateur de jeux de dés, pose une question à son ami Blaise Pascal : en lançant deux dés 24 fois de suite, a-t-on plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins un « double six » ? Il avait perdu de l'argent en pariant que oui ! Pascal en discute par lettres avec Pierre de Fermat, et les deux mathématiciens mettent au point, au fil de leur correspondance, les premières méthodes de calcul des probabilités, en comptant soigneusement toutes les issues possibles. (La réponse est non : la probabilité est d'environ 0,49.) Quelques années plus tard, le Néerlandais Christiaan Huygens publie le premier livre consacré au calcul des chances dans les jeux de hasard (1657).

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz