Accueil › Cours de maths 3e › Grandeurs composées

Grandeurs composées

Données et probabilités Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 4 · Les grandeurs quotients · Les grandeurs produits · Convertir des unités de grandeurs composées

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Les grandeurs quotients

Définition

Une grandeur quotient est obtenue en divisant une grandeur par une autre.

Trois grandeurs quotients très courantes :

La vitesse v, par exemple en km/h :
$v = \frac{d}{t}$ où d est la distance parcourue (en km) et t la durée du parcours (en h).
La masse volumique ρ (« rhô »), par exemple en kg/m³ :
$ρ = \frac{m}{V}$ où m est la masse (en kg) et V le volume (en m³).
Le débit D, par exemple en m³/s :
$D = \frac{V}{t}$ où V est le volume écoulé (en m³) et t la durée (en s).

Exemple 1 : un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

1 h 30 min = 1,5 hAttention : 30 min, c'est une demi-heure, pas « 0,30 h ».

v = \frac{d}{t}

On divise la distance par la durée.

v = \frac{45 km}{1, 5 h}

v = 30 km/h

Exemple 2 : un bloc d'aluminium de 200 cm³ a une masse de 540 g. Quelle est la masse volumique de l'aluminium ?

ρ = \frac{m}{V}

On divise la masse par le volume.

ρ = \frac{540 g}{200 {cm}^{3}}

ρ = 2, 7 {g/cm}^{3}

Exemple 3 : un robinet remplit un seau de 12 L en 1 min 30 s. Quel est son débit, en L/min ?

1 min 30 s = 1,5 minOn exprime la durée dans l'unité voulue.

D = \frac{V}{t}

On divise le volume par la durée.

D = \frac{12 L}{1, 5 min}

D = 8 L/min

Attention : il faut veiller à la cohérence des unités dans les calculs. Une distance en km divisée par une durée en h donne des km/h ; une distance en m divisée par une durée en s donne des m/s. Les durées en heures et minutes doivent être converties en nombre décimal (1 h 45 min = 1,75 h).

Les grandeurs produits

Définition

Une grandeur produit est obtenue en multipliant deux grandeurs.

Deux exemples :

L'aire 𝒜 d'un rectangle, par exemple en m² :
$A = L \times ℓ$ où L et ℓ sont la longueur et la largeur (en m).
L'énergie électrique E consommée, par exemple en Wh (wattheure) :
$E = P \times t$ où P est la puissance de l'appareil (en W, watt) et t la durée de fonctionnement (en h).

Exemple : un radiateur de 1 500 W fonctionne pendant 4 h. Quelle énergie consomme-t-il ?

E = P \times t

On multiplie la puissance par la durée.

E = 1 500 W \times 4 h

E = 6 000 Wh

6 000 Wh = 6 kWh1 kWh (kilowattheure) = 1 000 Wh : c'est l'unité des factures d'électricité.

Convertir des unités de grandeurs composées

On convertit chaque unité séparément, puis on refait le calcul.

Exemple 1 : convertir 90 km/h en m/s.

1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 sOn écrit les égalités entre unités.

90 km/h = \frac{90 000 m}{3 600 s}

On remplace, puis on calcule.

90 km/h = \frac{90 000}{3 600} m/s

90 km/h = 25 m/s

Exemple 2 : convertir 12 m/s en km/h.

En 1 h = 3 600 s, on parcourt 12 × 3 600 = 43 200 m, soit 43,2 km.On cherche la distance parcourue en une heure.

12 m/s = 43,2 km/h

Exemple 3 : convertir l'énergie de 2,5 kWh en Wmin (watt-minute).

1 kW = 1 000 W et 1 h = 60 minOn écrit les égalités entre unités.

2,5 kWh = 2 500 W × 60 min = 150 000 WminOn remplace dans le produit.

Exemple 4 : convertir la masse volumique de l'aluminium, 2,7 g/cm³, en kg/m³.

1 g = 0,001 kg et 1 cm³ = 0,000 001 m³On écrit les égalités entre unités.

2, 7 {g/cm}^{3} = \frac{0, 0027 kg}{0, 000 001 m^{3}}

On remplace dans le quotient, puis on calcule.

2, 7 {g/cm}^{3} = 2 700 {kg/m}^{3}

Astuce pour les vitesses : pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 ; pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6 (car 1 m/s = 3 600 m/h = 3,6 km/h).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une vitesse moyenne

45 km 1 h 30 min

Durée : 1 h 30 min =

1 + \frac{30}{60}

1, 5

v = \frac{d}{t} = \frac{45 km}{1, 5 h} = 30 km/h

Méthode 2 : convertir une vitesse (km/h ↔ m/s)

90 km/h = \frac{90 000 m}{3 600 s} = 25 m/s

Raccourci : 90 ÷ 3,6 = 25

Méthode 3 : le débit d'un robinet

12 L/min

t = \frac{V}{D} = \frac{240 L}{12 L/min} = 20 min

Plus le débit est grand, plus la cuve se remplit vite.

Méthode 4 : l'énergie consommée par un appareil

6 min = 0,1 h

La puissance est en W : on exprime la durée en heures pour obtenir des Wh.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer avec une grandeur composée »

Durée : 2 h 15 min = 2,25 h1. On met les données dans des unités cohérentes.

v = \frac{d}{t}

2. On écrit la formule.

v = \frac{351 km}{2, 25 h} = 156 km/h

3. On remplace, on calcule, avec l'unité.

La vitesse moyenne du train est de 156 km/h.4. On répond par une phrase.

Exercices

Exercice 1

Un train parcourt 351 km en 2 h 15 min. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.

Exercice 2

Une voiture roule à 80 km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 60 km ? Donne la réponse en minutes.

Exercice 3

Convertis : a) 72 km/h en m/s ; b) 15 m/s en km/h.

Exercice 4

Un bloc de glace de 2 m³ a une masse de 1 840 kg. Calcule la masse volumique de la glace. Sachant que celle de l'eau est de 1 000 kg/m³, explique pourquoi la glace flotte.

Exercice 5

Une baignoire de 180 L est remplie par un robinet de débit 12 L/min. Combien de temps faut-il pour la remplir ?

Exercice 6

Une ampoule LED de 8 W reste allumée 5 h par jour pendant 30 jours. Quelle énergie consomme-t-elle ? Et une ancienne ampoule de 60 W, dans les mêmes conditions ?

Exercice 7

Convertis : a) 2 400 kg/m³ en g/cm³ ; b) un débit de 0,9 m³/h en L/min.

Exercice 8

En 2009, Usain Bolt a couru le 100 m en 9,58 s. Calcule sa vitesse moyenne en m/s, puis en km/h (arrondis au dixième). Un guépard peut atteindre 100 km/h : qui est le plus rapide ?

Exercice 9

Léo fait l'aller Paris – Orléans (120 km) à 60 km/h, et le retour à 40 km/h. Il dit : « Ma vitesse moyenne sur l'aller-retour est de 50 km/h ». A-t-il raison ?

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise en sciences. Des activités à manipuler (monte le son !) et un peu d'histoire.

Maths et sciences

Flotte ou coule ?

Comment mesurer le volume d'un objet qui n'a pas une forme simple ? On le plonge dans une éprouvette graduée remplie d'eau : l'eau monte exactement du volume de l'objet (un objet qui flotte, on l'enfonce entièrement avec une fine aiguille).

Choisis un objet.

science Maths et sciences : mesurer le monde

Archimède et la couronne du roi (vers 250 avant J.-C.)

Le roi de Syracuse soupçonne son orfèvre d'avoir mélangé de l'argent à l'or de sa couronne. Il demande au savant Archimède de le vérifier… sans abîmer la couronne. Selon la légende, Archimède trouve la solution dans son bain, en voyant l'eau monter quand il s'y plonge, et court dans la rue en criant « Eurêka ! » (j'ai trouvé !). En plongeant la couronne dans l'eau, on mesure son volume ; si elle était en or pur, elle déplacerait autant d'eau qu'un lingot d'or de même masse. La couronne déplaçait plus d'eau : l'orfèvre avait triché !

Ératosthène mesure la Terre avec une ombre (vers 240 avant J.-C.)

À Syène, en Égypte, le jour le plus long de l'année, le Soleil éclaire le fond des puits à midi : il est exactement au-dessus. Le même jour, à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical fait une petite ombre : les rayons du Soleil arrivent avec un angle d'environ 7°, un cinquantième de tour complet. Ératosthène en déduit que le tour de la Terre mesure 50 fois la distance d'Alexandrie à Syène : environ 40 000 km. C'est presque la vraie valeur !

Archimède compte les grains de sable de l'Univers

Combien faudrait-il de grains de sable pour remplir tout l'Univers ? Dans un petit livre, L'Arénaire, Archimède invente une façon d'écrire des nombres immenses, en les regroupant par « myriades de myriades ». Il trouve un nombre qui s'écrirait aujourd'hui 10⁶³ : un 1 suivi de 63 zéros. C'est l'ancêtre de nos puissances de 10.

Galilée, la bille et le pendule

Vers 1583, à la cathédrale de Pise, le jeune Galilée observe un lustre qui se balance et mesure ses oscillations avec son pouls : elles durent toujours le même temps, qu'elles soient grandes ou petites. Plus tard, avec ses billes sur un plan incliné, il découvre que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps. Galilée écrit que le grand livre de la nature « est écrit dans la langue des mathématiques ».

Coups de canon pour mesurer la vitesse du son (1738)

Comment mesurer la vitesse du son ? En 1738, des savants de l'Académie des sciences tirent au canon, la nuit, entre Montmartre et Montlhéry, près de Paris. De l'autre côté, on voit l'éclair du canon tout de suite et on chronomètre le temps avant d'entendre la détonation. Ils trouvent environ 337 mètres par seconde, très proche de la valeur d'aujourd'hui : 340 mètres par seconde dans l'air.

Le mètre, mesuré sur la Terre (1792-1799)

Pendant la Révolution, les astronomes Delambre et Méchain mesurent pendant sept ans la distance entre Dunkerque et Barcelone, avec des triangles. But : définir une unité de longueur valable pour tous, le mètre, égal à un dix-millionième de la distance entre le pôle Nord et l'équateur. Le litre et le kilogramme en découlent : un litre, c'est un cube de 10 cm de côté ; un kilogramme, la masse d'un litre d'eau.

science À toi ! Chez toi, verse de l'eau dans un verre doseur gradué. Note le niveau, plonge une pomme de terre, un œuf ou une petite figurine, et lis le nouveau niveau : quel est le volume de l'objet ? Et au prochain orage, compte les secondes entre l'éclair et le tonnerre, puis divise par 3 : l'orage est à combien de kilomètres ?

history_edu Un peu d'histoire

Comment mesurer la vitesse d'un bateau en pleine mer, sans repère ? À partir du 16e siècle, les marins utilisent le loch : une planchette lestée, attachée à une longue corde sur laquelle on a fait des nœuds régulièrement espacés. On jette la planchette à l'eau, qui reste presque immobile, et l'on compte le nombre de nœuds qui filent entre les mains pendant la durée d'un petit sablier. Plus il en passe, plus le bateau va vite ! C'est l'origine du nœud, l'unité de vitesse encore utilisée en mer et dans les airs : 1 nœud correspond à 1 mille marin par heure, soit 1,852 km/h. Encore une grandeur quotient : une distance divisée par une durée.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz