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Généralités sur les fonctions

Données et probabilités Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 12 · Qu'est-ce qu'une fonction ? · La représentation graphique d'une fonction

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Qu'est-ce qu'une fonction ?

Un processus qui transforme un nombre

Définition

Une fonction est un processus qui, à un nombre, associe un unique nombre.

Exemple : on appelle f la fonction qui, à la longueur du côté d'un triangle équilatéral, associe le périmètre de ce triangle.

La fonction f associe au nombre 5 le nombre 15 (un triangle équilatéral de côté 5 cm a un périmètre de 15 cm).
Plus généralement, elle associe au nombre x le nombre 3x. On note $f : x ⟼ 3 x$ ou encore $f (x) = 3 x$ .

Remarque : la notation

f : x ⟼ f (x)

se lit « f est la fonction qui, à x, associe le nombre f(x) ». Attention : f est le nom de la fonction, f(x) est un nombre.

Image et antécédent

Définitions

Soit f une fonction qui, au nombre a, associe le nombre b. On peut l'écrire

f (a) = b

, et on dit que :

b est l'image de a par f ;
a est un antécédent de b par f.

Remarque : l'image d'un nombre est unique (« l'image »). En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents (« un antécédent »), ou aucun.

Exemple 1 : soit g une fonction telle que $g (4) = - 1$ .

−1 est l'image de 4 par la fonction g ; 4 est un antécédent de −1 par la fonction g.

Exemple 2 : soit la fonction $f : x ⟼ 0, 5 x^{2} - 2$ .

À tout nombre x, la fonction f associe un unique nombre, calculé avec la formule $0, 5 x^{2} - 2$ . On dit que l'image de x par f est $0, 5 x^{2} - 2$ et on note $f (x) = 0, 5 x^{2} - 2$ .

f (- 4) = 0, 5 \times (- 4)^{2} - 2 = 0, 5 \times 16 - 2 = 8 - 2 = 6

On remplace x par −4, puis on calcule.

f (4) = 0, 5 \times 4^{2} - 2

On remplace x par 4.

f (4) = 0, 5 \times 16 - 2

f (4) = 6

L'image de −4 par f est 6, et celle de 4 est 6 également.

−4 et 4 ont la même image, 6 : le nombre 6 a au moins deux antécédents par f.

Définition

Les images de certaines valeurs de x par une fonction f peuvent être présentées dans un tableau de valeurs.

Exemple 3 : un tableau de valeurs de la fonction $f : x ⟼ 0, 5 x^{2} - 2$ .

x	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	6	2,5	0	−1,5	−2	−1,5	0	2,5	6

La 2e ligne du tableau donne les images des nombres de la 1re ligne par la fonction f.
Pour déterminer l'image de 0, on cherche 0 sur la 1re ligne et on lit son image sur la 2e ligne : l'image de 0 par f est −2. On écrit $f (0) = - 2$ .
Pour déterminer les antécédents de 0, on cherche 0 sur la 2e ligne et on lit les nombres correspondants sur la 1re ligne : les antécédents de 0 par f sont −2 et 2. On écrit $f (- 2) = f (2) = 0$ .

La représentation graphique d'une fonction

Définition

La représentation graphique d'une fonction f est la courbe constituée de l'ensemble des points de coordonnées

(x; f (x))

Exemple : les graphiques ci-dessous représentent la fonction $f : x ⟼ 0, 5 x^{2} - 2$ . Comme $f (2) = 0$ , le point de coordonnées (2 ; 0) est un point de la courbe.

Pour déterminer graphiquement l'image de 1,5 par f, on cherche l'ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 1,5. Elle semble égale à −0,9 environ. On le vérifie par le calcul : $f (1, 5) = 0, 5 \times 2, 25 - 2 = - 0, 875$ .

Pour déterminer graphiquement les antécédents de −1,5, on cherche les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée −1,5. Deux points conviennent : les antécédents semblent être −1 et 1. Vérification : $f (- 1) = 0, 5 - 2 = - 1, 5$ et $f (1) = - 1, 5$ .

Une lecture graphique donne en général une valeur approchée : on la confirme, quand c'est possible, par un calcul.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : la machine à fonctions

Méthode 2 : lire une image ou des antécédents sur la courbe

1,5

On part de l'abscisse 1,5 sur l'axe horizontal, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
L'image de 1,5 est −0,875 :

f (1, 5) = - 0, 875

Méthode 3 : du tableau de valeurs à la courbe

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
k(x)	1	6	9	10	9	6	1

On calcule les images de quelques valeurs de x : c'est le tableau de valeurs. Par exemple k(−3) = 10 − 9 = 1.

Méthode 4 : calculer les antécédents d'un nombre

On cherche les nombres x tels que

f (x) = 6

Chercher un antécédent, c'est résoudre une équation.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une image avec une formule »

f (x) = 0, 5 x^{2} - 2

La formule de la fonction.

f (- 3) = 0, 5 \times (- 3)^{2} - 2

1. On remplace x par le nombre, entre parenthèses s'il est négatif.

f (- 3) = 0, 5 \times 9 - 2 = 2, 5

2. On calcule en respectant les priorités.

L'image de −3 par f est 2,5.3. On conclut avec le vocabulaire.

Exercices

Exercice 1

Soit la fonction

f : x ⟼ 2 x - 3

. Calcule l'image de 4, puis celle de −1. Détermine l'antécédent de 7.

Exercice 2

Soit la fonction

g (x) = x^{2} + 1

. Calcule g(3) et g(−3). Quels sont les antécédents de 10 ? Le nombre 0 a-t-il des antécédents ?

Exercice 3

Voici un tableau de valeurs d'une fonction p. Quelle est l'image de 2 ? Quels sont les antécédents de 1 ? Écris deux égalités avec la notation p(…).

x	−2	−1	0	1	2	3
p(x)	5	1	−1	−1	1	5

Exercice 4

On sait que h(5) = 12. Complète les phrases : 12 est … de 5 par h ; 5 est … de 12 par h. Le point de coordonnées (… ; …) est sur la courbe de h.

Exercice 5

Voici la courbe d'une fonction u. Lis graphiquement : a) l'image de 1 ; b) les antécédents de 0 ; c) les antécédents de 4. Vérifie avec

u (x) = 4 - x^{2}

Exercice 6

Le point A(3 ; 2,5) est-il sur la courbe de

f : x ⟼ 0, 5 x^{2} - 2

? Et le point B(−2 ; 1) ?

Exercice 7

Programme de calcul : « Choisir un nombre. Le mettre au carré. Soustraire 4. » On note f la fonction qui, au nombre choisi, associe le résultat. Écris f(x), puis calcule l'image de −3.

Exercice 8

Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre. On note T(x) le prix, en euros, d'une course de x km. Exprime T(x), calcule T(10), puis trouve l'antécédent de 25 et interprète-le.

Exercice 9

Vrai ou faux ? Justifie. a) Un nombre peut avoir deux images par une fonction. b) Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. c) Si f(2) = 5, alors le point (5 ; 2) est sur la courbe de f.

public Maths & la vie

Dans l'application, ces activités sont interactives : on dessine, on écoute, on joue.

Maths & la vie : les maths de ce chapitre, on les croise avec l'argent. Des activités à manipuler et un peu d'histoire.

Maths et argent

Faire grossir son épargne

Tu places 1 000 € à la banque, avec un taux d'intérêt par an. Deux façons de calculer les intérêts : intérêts simples (chaque année, on gagne toujours le même montant, calculé sur les 1 000 € de départ) ou intérêts composés (chaque année, les intérêts s'ajoutent et rapportent à leur tour).

Intérêts simples : on gagne 50 € chaque année. Après 20 ans : 1 000 + 50 × 20 = 2 000 €. C'est une fonction affine de la durée : sa courbe est une droite.

Intérêts composés : chaque année, on multiplie par 1,05. Après 20 ans : 1 000 × 1,05²⁰ ≈ 2 653 €. Ce n'est pas une fonction affine : la courbe se redresse de plus en plus.

payments Maths et argent : compter, échanger, prêter

Les premiers comptes, avant l'écriture

Il y a plus de 5 000 ans, en Mésopotamie (l'Irak actuel), les marchands et les temples comptent les moutons, les sacs de grain et les jarres d'huile avec de petits jetons d'argile. Pour qu'on ne puisse pas tricher, on les enferme dans une boule d'argile, sur laquelle on imprime leur forme. Puis on se contente des empreintes, sur une tablette : c'est l'un des débuts de l'écriture… et des nombres écrits. Écrire, ce fut d'abord tenir des comptes !

Fibonacci apprend aux marchands à calculer (1202)

En Europe, on calcule encore avec des chiffres romains et des jetons posés sur une table à compter, l'abaque. Fils d'un marchand de Pise, Fibonacci a appris en Afrique du Nord les chiffres indiens transmis par les savants arabes : 0, 1, 2… 9. Dans son Livre du calcul (1202), il montre aux commerçants comment s'en servir pour changer des monnaies, partager des bénéfices ou calculer des intérêts. En quelques siècles, ces chiffres remplacent les chiffres romains.

Les signes + et −, le symbole %

Les signes + et − apparaissent pour la première fois dans un livre imprimé en 1489, un manuel de calcul pour les marchands écrit par l'Allemand Johannes Widmann : ils y indiquent un surplus ou un manque dans une caisse de marchandises. Le symbole % vient des marchands italiens : ils écrivaient « per cento » (pour cent), abrégé en « p cento », puis en un petit signe qui est devenu notre %.

Les banquiers italiens et la règle de 72

Au 15e siècle, les grandes familles de banquiers de Florence et de Venise prêtent de l'argent dans toute l'Europe. En 1494, le moine mathématicien Luca Pacioli publie un énorme traité où il explique la comptabilité en « partie double » (encore utilisée aujourd'hui) et une astuce : pour savoir en combien d'années un placement double, on divise 72 par le taux d'intérêt. C'est la règle de 72 !

Une monnaie décimale : le franc, puis l'euro

Sous l'Ancien Régime, une livre valait 20 sous et un sou 12 deniers : bon courage pour rendre la monnaie ! En 1795, en même temps que le mètre et le kilogramme, la Révolution crée le franc : 1 franc = 10 décimes = 100 centimes. C'est l'une des premières monnaies décimales, et c'est pourquoi on écrit les prix avec une virgule et deux chiffres après. Le Royaume-Uni n'a adopté la monnaie décimale qu'en 1971 ! Depuis 2002, nous payons en euros : 1 euro = 100 centimes.

shopping_cart À toi ! Au supermarché, regarde les petites étiquettes sous les prix : elles indiquent le prix au kilogramme (ou au litre). Choisis un produit vendu en deux tailles de paquet, et cherche lequel est vraiment le moins cher. Le plus gros paquet gagne-t-il toujours ?

history_edu Un peu d'histoire

Le mot « fonction » apparaît en 1692 sous la plume du philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, pour désigner des grandeurs liées à une courbe. C'est le Suisse Leonhard Euler, le mathématicien le plus prolifique de l'histoire, qui introduit en 1734 la notation f(x) que nous utilisons encore aujourd'hui. Mais l'idée de relier deux grandeurs est bien plus ancienne : au 14e siècle, l'évêque français Nicole Oresme représentait déjà la vitesse d'un objet en fonction du temps par des segments dessinés côte à côte… un ancêtre de nos représentations graphiques ! Au 17e siècle, René Descartes invente le repère qui porte son nom (repère cartésien), où chaque point est repéré par deux nombres.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz